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Ce tableau n'est relatif qu'au triangle pris pour terme de com→ paraison, c'est-à-dire, qui a ses trois angles aigus; mais il est évident que pour le rendre applicable aux divers systêmes corrélatifs, il n'y a qu'à reprendre les mêmes observations exactement, que celles qui ont été faites à la fin du problême précédent.

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163. Etant donnés dans un triangle deux côtés et l'angle compris, trouver 1°. le troisième côté et les deux autres angles; 2°. les perpendiculaires abaissées des angles sur les côtés opposés ; 5°. les segmens et les angles qui résultent des intersections respectives de toutes ces lignes ; les trois droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires deux à deux, &c.

Supposons que les deux côtés donnés soient AB, BC (fig. 28), et par conséquent ABC l'angle donné. Il s'agit donc de trouver toutes les quantités énumérées au tableau fondamental (146) en valeurs des trois quantités AB, BC, ABC.

Soient pour abréger les expressions, AB=c, BC=a, ABC-B: nous aurons à exprimer toutes les quantités du systême en valeurs de c, a, B.

Pour cela, je cherche parmi les formules du tableau fondamental les trois qui expriment ces nouvelles données en valeurs des trois premières m, n, R; ce sont les 15, 15o, 6o, lesquelles donnent,

2R.sin. (m+n), c = 2 R. cos. n, Ba—m. Cette dernière donne m=-B, sin.m=cos. B, cos.m=sin.B, En éliminant R entre les deux autres, j'ai acos.n=c sin.(m+n), ou a cos.n=c sin. m cos. n+c sin.n cos.m. Mettant dans cette équation les valeurs de sin. m, cos.m, trouvées ci-dessus, on aurą

a cos. n = c cos. B cos. n + csin. n sin. B,

ou cos. n (ac cos. B): = c sin. Bicos. n3,
ou cos. n2 (a2+ c2 — 2 a c cos, B = e2 sin. Ba

ou

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Substituant cette valeur de cos. n dans l'équation c = 2 R cos. n,

nous aurons

R=

a2+ca-2 ac cos. B.

2 sin. B

Nous avons donc les valeurs qui doivent être substituées pour m, n, R, dans les formules du tableau, afin de les obtenir comme on les demande en a, c, B. De ces substitutions résultera le tableau suivant, lequel, par conséquent, satisfait à la question proposée.

Tableau par lequel connoissant dans un triangle ABC, deux cótés AB, BC, et l'angle compris ABC, on peut trouver immédiatement, 1°. les trois choses à considérer dans le triangle; 2o. les perpendiculaires abaissées de chacun des angles sur le cóté opposé; 3°. les angles et segmens qui résultent de cetle construction, &c. en supposant les trois données AB=c, BC= a, ABC = B.

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22... DH a cot. B-c cos. B cot. B

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30°...... DG =

31...... FG

FG =

a"+c2-sac cos. B

(a-c cos.B) (c-a cos. B)

sin. BV a2+c2 2 ac cos. B
ac a2 cos. B

Vaa+c2— 2 ac cos. B

32°...... FH
FH BV
= cos. B Va+c2

55...... GH =
33°.....

2 ac cos. B

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On doit faire ici la même observation que celle qui a déjà été faite (162).

PROBLÊ ME X I V.

164. Etant donné dans un triangle les trois côtés, trouver 1o. les trois angles; 2°. les perpendiculaires abaissées des angles sur les côtés opposés ; 3°. les segmens et les angles qui résultent des intersections respectives de toutes ces lignes, les trois droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires deux à deux, &c.

Je suppose, pour abréger, les expressions des seconds membres, BC= a, AC=b, AB = c; il s'agit donc de trouver toutes les autres quantités énumérées au tableau en valeurs de ces trois données (fig. 28).

Pour cela, je cherche parmi les formules de ce tableau, les trois qui expriment ces nouvelles données en valeurs des trois premières m, n, R, ce sont les 13°, 14 et 15°; et j'en tire réciproquement m, n, R en valeurs des trois autres, pour les substituer dans toutes les formules du même tableau ; il en résultera donc un nouveau tableau, où chacune des quantités du systême sera exprimée comme on le demande, en valeurs des trois côtés a; b, c.

Or les 13, 14 et 15° formules du tableau fondamental sont: a=2R.sin. (m+n), b = 2R. cos. m, c = 2R.cosn; il faut donc de ces trois équations tirer les valeurs de m, n, R, et les substituer dans les formules de ce tableau fondamental.

Pour cela, je développe d'abord sin. (m+n) par les formules ordinaires de la théorie des quantités linéo-angulaires (125), et j'ai pour mes trois équations

a = 2R.sin.m cos. n+2R. sin. n cos.m; b=2R. cos. m, c=2R.cos.n. (A)

Substituant dans la première de ces équations pour cos.m sa valeur tirée de la seconde, et pour cos. n sa valeur tirée de la troisième, elle deviendra ac sin. m+b sin.n; de plus, l'élimination de R entre les deux dernières donne b cos.nc cos. m. Il faut donc de ces deux nouvelles équations tirer m et n.

Dans la première, je transpose b sin. n, et j'élève au carré; il vient a+b'sin. n'-2 ab sin. nc' sin. m2. J'élève pareillement la seconde au carré, et j'ai ba cos. n2 = c2 cos. m3. Ajoutant cette équation à la précédente, il vient à cause de sin. m2+cos.m2 = 1; et de sin.n'+ cos. n2 = 1;

a2+b2 — 2 a b sin. n = c'; d'où je tire sin. n =

a2+b2 — c2

2ab
a2 + c2 — b2

et

par la même raison on a.

sin.m=

...

2ac

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