Géométrie de position

Ce tableau n'est relatif qu'au triangle pris pour terme de comparaison , c'est-à-dire, qui a ses trois angles aigus ; mais il est évident que pour le rendre applicable aux divers systèmes corrélatifs, il n'y a qu'à reprendre les mêmes observations exactement, que celles qui ont été faites à la fin du problême précédent.

PRODtiME XIII.

165. Etant donnés dans un triangle deux côtés et Vangle compris, trouver î °. le troisième côté et les deux autres angles; 2°. les perpendiculaires abaissées des angles sur les côtés opposés ; 5°. les segmens et les angles qui résultent des intersections respectives de toutes ces lignes; les trois droites qui joignent les pieds de ces perpendiculaires deux à deux, &c.

Supposons que les deux côtés donnés soient AB, BC (fig. 28},

et par conséquent ABC l'angle donné. Il s'agit donc de trouver toutes les quantités énumérées au tableau fondamental (i46) en

valeurs des trois quantités AB, BC, ABC.

Soient pou r abréger les expressions, AB = c, BC=a, ABC=B: nous aurons à exprimer toutes les quantités dû système en valeurs de c, a, B.

Pour cela, je cherche parmi les formules du tableau fondamental les trois qui expriment ces nouvelles données en valeurs des trois premières m, n, Rj ce sont les i3e, 16e, 6e, lesquelles donnent,

a — 2R.sin.(m+n), c — aR.cos.», B = 'w — m.

Cette dernière donne m=^—B, sin./ra=cos.B, cos.TO = sin.B, En éliminant R entre les deux autres, j'ai acos.n = c sin.(m + n), ou acos.n = e sin.m cos.n + csin.n cos./ra. Mettant dans cette équation les valeurs de sin./n, cos./rc, trouvées ci-dessus, on aura acos.n = ccos.B cos./z+ csin.n sin. B, ou cos. n (a — c cos. B ) = c sin. B \/ 1 — cos. n% ou cos. n' (a* + c*—s a c cos. B = e* sin. B1,

ou csin.B

ou cos. n = , et par conséquent,

* a*+c'—aac cos.B

a — cos.B

sin. n =

* cf+c*—lac cos.B Substituant cette valeur de cos. n dans l'équation c = 2 11 cos. n,

nous aurons

R =—;—-l/a'+c*—zac cos.B.
a sin. B

Nous avons donc les valeurs qui doivent être substituées pour m, n, R, dans les formules du tableau, afin de les obtenir comme on les demande en a, c, B. De ces substitutions résultera le tableau suivant, lequel, par conséquent, satisfait à la question proposée.

Tableau par lequel connoissant dans un triangle ABC, deux

côtés AB, BC, et l'angle compris ABC, on peut trouver immédiatement , i°. les trois choses à considérer dans le triangle; a°. les perpendiculaires abaissées de chacun des angles sur le côté opposé; 3°. les angles et segmètts qui résultent de cette

construction, &c. en supposant les trois données AB = c,

BC = a, ABC = B.

Valeurs Des Angles.

iere BAD = * — B

^ . c sin. B

ae... cos.CAD =

i

Je suppose, pour abréger, les expressions des seconds membres, BC = a, AC = b, AB = c; il s'agit donc de trouver toutes les autres quantités énumérées au tableau en valeurs de ces trois données (fîg. 28).

Pour cela, je cherche parmi les formules de ce tableau, les trois qui expriment ces nouvelles données en valeurs des trois premières m, n , R, ce sont les i3e, iic et i5ej et j'en tire réciproquement m, n, R en valeurs des trois autres, pour les substituer dans toutes les formules du même tableau; il en résultera donc un nouveau tableau, où chacune des quantités du système sera exprimée comme on le demande, en valeurs des trois côtés ab, c.

Or les i5e, 14e et i5e formules du tableau fondamental sont: a= 2R.sin.(m + n) , b = 2R.c0s.OT, c = 2r.costï; il faut donc de ces trois équations tirer les valeurs de m, n, R, et les substituer dans les formules de ce tableau fondamental.

Pour cela, je développe d'abord sin.(m + n) par les formules ordinaires de la théorie des quantités linéo-angulaires (120), et j'ai pour mes trois équations

a = 2R.sin.OT cos.re + 2R.sin.ra Cos.ot; b = 2R.c0s.OT, e = 2R.cos.n. (A)

Substituant dans la première de ces équations pour Cos.ot sa valeur tirée de la seconde, et pour cos. n sa valeur tirée de la troisième , elle deviendra a — c sin.m + b sin./z; de plus, l'élimination de R entre les deux dernières donne b cos.ra = c cos. m. Il faut donc de ces deux nouvelles équations tirer m et n.

Dans la première, je transpose b sin. n, et j'élève au carré j il vient a* + £*sin./î*—2ab sin.ra = c* sin./n*. J'élève pareillement la seconde au carré, et j'ai £*cos.n* = c*Cos.ot*. Ajoutant celte équation à la précédente, il yientà cause de sin.Ot*+ Cos.ot* = 1 J et de sin.»*4-cos.«* = 1;

a* -j. fr* c*

a'+b*— aab sin.» = c"; d'où je tiresin.n =