Cours d'analyse: Analyse complexeEPFL Press, 1 janv. 1997 - 536 pages L'objectif principal du second volume de ce Cours d'Analyse en trois volumes est de donner une introduction à la théorie classique des fonctions holomorphes d'une variable complexe. Après une introduction aux nombres complexes et à la théorie des séries entières, on présente les fonctions holomorphes en utilisant les équations de Cauchy-Riemann et leurs développements en séries entières. Les théorèmes principaux de la théorie de Cauchy ainsi que leur utilisation pour l'étude des séries de Taylor et de Laurent sont présentés en détail. Les fonctions élémentaires (exp, cos, sin etc.) sont introduites dès le début et leurs propriétés sont développées en utilisant la théorie générale. Les propriétés principales des fonctions holomorphes (principe de module maximum, application ouverte, unicité des fonctions holomorphes, théorèmes de Weierstrass et Mittag-Leffler etc.) sont présentées et leur relation avec les fonctions harmoniques est développée. Quelques fonctions spéciales (comme gamma, zêta) sont introduites avec soin. Les applications conformes (inclus le théorème de Riemann) sont traitées en détail. Une introduction à la théorie des fractions continues complexes est donnée comme illustration de différents modes de présentation des fonctions holomorphes (comme séries, intégrales ou produits infinis). Le livre se termine avec une courte introduction rigoureuse aux surfaces de Riemann. De nombreux exercices (avec indications de leur résolution), notices historiques et bibliographiques complètent le texte. Il est conçu pour les étudiants en mathématiques et physique dans leur deuxième et troisième années d'études auprès d'une université européenne. |
Table des matières
CONVENTIONS NOTATIONS ET RAPPELS | 1 |
Conventions diverses | 8 |
Connexité | 30 |
FONCTIONS HOLOMORPHES DÉFINIES | 47 |
FORMULE INTÉGRALE DE CAUCHY | 121 |
THÉORÈME DES RÉSIDUS ET SES APPLICATIONS | 201 |
4 | 225 |
DIVERSES REPRÉSENTATIONS | 302 |
8 | 425 |
APPLICATIONS CONFORMES | 427 |
SURFACES DE RIEMANN | 507 |
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES | 518 |
RÉPONSES AUX EXERCICES | 519 |
525 | |
Expressions et termes fréquents
a₁ absolument convergente application conforme B(zo b₁ bijection C¹ par morceaux calcul Cauchy cercle compacte composante connexe conclut conformément équivalent constante converge uniformément d'après d'où déduit définie demi-plan démontrer démontrons détermination Dirichlet disque ouvert domaine élémentaire existe fn(z fonction entière fonction ƒ fonction holomorphe fonction homographique fonction méromorphe fonctions harmoniques formule fraction continue ƒ est holomorphe homéomorphisme homotope injective intégrales l'exercice lacet nombres complexes Notons obtient ouverte non vide paragraphe pôle simple polynôme posons possède prolongement analytique proposition propriétés rayon de convergence Re(s récurrence réel s'appelle segment série de Taylor série entière simplement connexe sommable suite suivante supposons surface de Riemann théorème de Riemann théorie topologie utilisant Vérifier voisinage ouvert Weierstrass zéros