Images de page
PDF
ePub

distinctes qui, dans la plupart des manuscrits, se rencontrent anonymes et isolées, qu'il conviendrait donc de désigner sous des noms différents. La juxtaposition de ces trois parties ne se trouve effectuée que dans deux manuscrits dont l'origine est la Bavière et dont le plus récent seul porte l'attribution à Gerbert.

1o La première partie (ch. 1-13 éd. Olleris), à la différence des deux autres, n'est point une compilation, mais bien un travail original. L'auteur en est un esprit curieux et instruit (quoique ne dépassant pas le niveau du milieu du Xe siècle); il a essayé de faire un ouvrage d'enseignement méthodique, en combinant les calculs métriques et les connaissances théoriques. Mais ce travail, qui s'arrête brusquement, n'a probablement jamais été terminé; l'auteur paraît avoir ignoré le théorème général sur le carré de l'hypoténuse, tandis qu'il s'étend longuement sur les triangles rectangles dont les côtés sont proportionnels à 3, 4, 5, triangles qu'il appelle pythagoriques.

Or, au chapitre 9, cet auteur considère, comme Ragimbold, les termes d'angles extérieurs et intérieurs comme synonymes d'angles obtus et aigus. Il déclare que c'est dans ce sens qu'il faut entendre le passage de Boèce dans son Commentaire des Catégories, passage dont il dit : quod multis movit sæpe scrupulum. C'est une allusion évidente à la Correspondance entre Ragimbold et Radolf. Il écrivait donc après eux, et probablement en Lotharingie.

quer

Francon de Liège rejette, au contraire, la ridicule interprétation de Ragimbold. Il remarque que le terme d'angle extérieur d'un triangle doit s'applià un angle dont un côté est l'un de ceux du triangle, et dont l'autre est extérieur. Mais il trace ce second côté, à partir d'un sommet, dans une direction quelconque; il n'a donc pas encore la clef des énoncés d'Euclide (I, 16 et 32).

Or, quand il parle de cette question, quod plurimum fatigavit majores nostros allusion toute semblable à celle que je viens d'indiquer), il est très remarquable qu'il donne non pas la figure de l'écolâtre de Cologne, mais celle de la Geometria Gerberti. Il semble qu'on peut conclure de là qu'il a connu la première partie de cette Géométrie. En tous cas, il est très probable qu'elle a été écrite avant le traité De quadratura circuli, et à une date plus voisine de 1025 que de 1050. L'auteur serait donc plutôt un contemporain de Wazzon

[blocks in formation]

de Francon, mais on ne peut lui assigner aucun nom dé

2o La seconde partie de la Geometria Gerberti (ch. 14-40 éd. Olleris) est une compilation de questions d'arpentage; mais, à la différence de celles que l'on trouve chez les agrimenseurs romains, ces questions sont relatives, non pas à des calculs métriques, mais bien à des pratiques opératives. L'astrolabe y est mentionné. De plus, cette partie est caractérisée par les vers léonins le rédacteur a pris fantaisie d'y semer.

que

Jusqu'à présent, l'origine primitive de cette composition est inconnue. Le Monacensis Lat. 14836, étudié par M. Curtze, en contient une recension où l'ordre des chapitres est beaucoup plus rationnel que celui de la vulgate et dont le texte est notablement supérieur. Mais le ms. latin 7377 C de la Nationale est le plus ancien connu où se rencontre cette compilation (voir plus haut, p. 490), et cela d'ailleurs au milieu d'une série de pièces provenant de la Lotharingie.

La recension de ce manuscrit est aussi toute spéciale, et contient plusieurs morceaux inédits; j'ai cru intéressant d'en faire l'objet d'un Appendice à la Correspondance des Écolâtres. On y trouvera la concordance des parties éditées avec les capitula d'Olleris et ceux du Monacensis 14836, suivant la publication de M. Curtze.

D'après les premiers mots de cette recension, on pourrait employer le terme de Geometricales diversitates, pour désigner la seconde partie de la Geometria Gerberti.

3o Quant à la troisième partie de cette Geometria (ch. 41-92, éd. Olleris), c'est une compilation provenant de diverses sources qu'il est aisé de reconnaître, mais comprenant surtout des problèmes métriques tirés du Podismus (voir plus haut, p. 499), c'est-à-dire des agrimenseurs romains. Or c'est dans cette partie que se trouve (ch. 66) la valeur de la diagonale du carré, attribuée, comme on l'a vu, par Francon à Gerbert, et par Ragimbold à Boèce. C'est également dans cette partie que se rencontrent (ch. 49-55) les formules sommatoires des nombres polygones appliquées, comme dans Vitruvius Rufus, au calcul de l'aire des polygones réguliers. Ces formules devaient également se trouver dans les figuræ geometrica envoyées par Gerbert à Adelbold,

[ocr errors][ocr errors][merged small][merged small]

puisque, pour l'aire du triangle au moins, la différence entre la formule arithmétique et la formule géométrique a provoqué de la part d'Adelbold la demande d'explications qui amena la lettre que nous avons de Gerbert à son ancien disciple.

Il semble clair par lå que l'on ne peut dénier à Gerbert le mérite d'avoir au moins appelé l'attention sur les problèmes du Podismus, et l'on est conduit à identifier le libellus geometria que lui attribue Francon avec les figuræ geometricæ envoyées à Adelbold. Ce recueil n'était point, à vrai dire, l'œuvre de Gerbert, mais un extrait qu'il avait fait ou fait faire d'un manuscrit des agrimenseurs romains, probablement pour ses études personnelles, et qu'il offrit à Adelbold avant d'avoir mis le travail au point. Il est tout naturel que Francon, s'il en a connu l'origine, ait attribué ce libellus à Gerbert.

Cet extrait est le noyau principal autour duquel s'est formée la troisième partie de la Geometria Gerberti, par diverses additions successives. Cette partie, que l'on regarde d'ordinaire comme la moins digne de Gerbert, serait donc la seule à laquelle il aurait pris une certaine part, attestée par sa lettre à Adelbold comme par le témoignage de Francon. Cette part serait mème ce qu'il y aurait de plus incontestable dans le rôle qu'on lui attribue en ce qui concerne l'enseignement de la géométrie.

Nous pouvons désormais répondre à la question que nous nous sommes posée à la fin de la précédente section de cette Introduction. Si Ragimbold a attribué à Boèce la valeur de la diagonale du carré qui se trouvait dans un recueil de problèmes envoyé par Gerbert à Adelbold, c'est sans doute que ce recueil se trouvait copié, sans nom d'auteur, à la suite du Geometricum de Boèce, dans le manuscrit qui s'en trouvait à Cologne, et que Ragimbold n'était pas renseigné sur sa véritable provenance.

Cette hypothèse suffit, puisqu'elle permet de se dispenser de recourir à d'autres conjectures moins plausibles, parce qu'elles seraient plus compliquées. Je me contenterai d'ajouter, pour ce qui regarde la Geometria Gerberti, que les trois éléments essentiels qui ont servi à la constituer se trouvaient également en Lotharingie, probablement dès la seconde moitié du XIe siècle, et que c'est dans cette région de Liège, Utrecht et Cologne qu'on en trouve pour chacun d'eux les indices les plus anciens. C'est au contraire en Bavière, comme je l'ai dit, que semble s'ètre formée la juxtaposition des trois parties.

!

VII. FRANCON DE Liège.

Le rapprochement de la Correspondance des écolâtres et du traité De quadratura circuli de Francon de Liège m'a permis, comme je l'avais annoncé, d'apporter, dans la discussion des questions relatives aux écrits géométriques mis sous les noms de Boèce et de Gerbert, de nouveaux éléments qui ne devront pas être négligés à l'avenir. Mais ce rapprochement peut encore donner lieu à d'autres remarques intéressantes.

Nous avons déjà vu que Francon a au moins réalisé un progrès sur la génération antérieure, en écartant la singulière interprétation donnée par Ragimbold des termes angles extérieurs ou intérieurs d'un triangle. Peut-on en mettre d'autres à son actif?

Il a au moins l'idée très nette qu'il est impossible d'exprimer en termes rationnels, mème au moyen d'une série de substitutions, la racine d'un nombre non carré parfait. Il essaye mème de le prouver, et si sa démonstration laisse encore singulièrement à désirer, au moins suit-il la bonne voie.

Cette notion, d'ailleurs plutôt arithmétique que géométrique, qui manquait à Ragimbold et à Radolf, apparaît cependant déjà, au moins pour l'incommensurabilité de la diagonale au côté du carré, dans la lettre du moine B. à Ragimbold, lettre probablement provoquée par une communication de ce dernier. Ce moine attribue d'autre part à Platon la construction géométrique du carré double, comme s'il avait lu le passage bien connu du Ménon (84 d‐85 b). Je n'ai pu retrouver par quelle voie cette donnée avait pu lui parvenir; il y aurait là un problème intéressant à résoudre.

En revanche, la démonstration de l'égalité à deux droits de la somme des angles d'un triangle est toujours, pour Francon, une pierre d'achoppement. Il nous apprend que Wazzon, Razegin, Adelman, d'autres encore, se sont essayés (après Radolf) à cette démonstration. Il donne même les figures qu'ils auraient employées. Celle d'Adelman parait la seule qui puisse s'appliquer au cas général, au moins pour un triangle acutangle; et c'est parce qu'elle se retrouve dans notre pièce X, que j'ai cru pouvoir attribuer à son école cette pièce qui, au sujet du sens du terme angle intérieur, semble d'ailleurs se rallier à l'opinion de Fulbert plutôt qu'à celle de Ragimbold.

Francon déclare que toutes ces tentatives sont imparfaites; mais, quoi qu'il en dise, il ne réussit pas mieux. Ainsi deux générations de lettrés se sont inutilement acharnées, en Lotharingie, à constituer, sur un théorème aussi élémentaire que celui dont il s'agit, un type satisfaisant de démonstration géométrique; et l'on ne voit pas, si au moins ces efforts ont continué, ce que l'on ignore, qu'ils aient abouti avant l'infiltration de la science arabe et les traductions qui rapportèrent dans l'Occident latin les fruits perdus du génie grec.

que

L'ouvrage de Francon tout entier peut servir d'ailleurs comme témoin de la voie sans issue où s'engageaient, à cette époque, les recherches géométriques dépourvues du guide indispensable. Le titre de cet ouvrage : De quadratura circuli, ne doit pas faire illusion. En réalité, le sujet est tout autre le problème célèbre connu sous le nom de « quadrature du cercle ». C'est encore dans le Commentaire de Boèce sur les Catégories d'Aristote (230 D) que ce sujet avait été trouvé. Le Maître avait donné la quadrature du cercle comme exemple d'une question dont la solution était possible, mais inconnue; le commentateur avait ajouté que cette solution n'avait été découverte qu'après le temps d'Aristote ). Francon dit le contraire (p. 143 et dans les vers inédits reproduits plus haut), c'est-à-dire qu'il considère le problème comme ayant été résolu par Aristote. C'est que, très probablement, il a eu connaissance de la lettre du moine B. à Ragimbold, et qu'il a mal compris le passage, effectivement assez obscur, où ce moine ne fait en réalité que répéter sous d'autres termes ce que Boèce avait dit.

D'autre part, comme Adelbold lorsqu'il écrivait sa lettre à Gerbert sur la sphère, Francon connait, par la tradition des arpenteurs, un moyen de calculer la surface d'un cercle dont le diamètre est donné; il sait qu'il faut multiplier par 11 le carré du diamètre et diviser par 14. Si donc un cercle a un diamètre de 14 pieds, on construira aisément un rectangle de 1 1 pieds sur 14, dont la surface (154 pieds carrés) sera équivalente à celle du cercle. Francon

(1) On peut admettre que Boèce ne regardait pas encore approximation d'Archimède comme une solution exacte; qu'il faisait, au contraire, allusion aux solutions graphiques par les courbes mécaniques, comme la spirale

d'Archimede, la quadratrice de Dinostrate, etc., ou du moins qu'il répétait ce que Jamblique avait écrit dans ce sens. Comparer Simplicius, In Aristotelis Physicorum libros, éd. Diels, p. 60.

« PrécédentContinuer »