tercia, uel quarta, uel quinta, seu quamcunque exiget proportio in primis proposita, ut legibus abaci queat perfecte reuerti. mensuris De quadrato cuius duplum in mensuris me querere postulasti, prout mihi uisum est non grauatus sum tibi rescribere. Sollertiam tuam non latet quod omne diagonium equilateri quadrati habet ipsum latus in se et quincuncem. Si uis propositi quadrati duplum habere, accipe diagonium minoris quadrati et fac latus maioris quadrati, et sic duplicabis aream minoris quadrati. Hic adtende quibus laterum proportionibus quadrato possis duplumb in apponere. Ecce quadratum equilaterum cuius latus habet xII pedes, diagonium XVII, et ad longitudinem eius diagonalis linee descripto quadrato alio paribus lateribus, habebis quadratum in mensuris duplum iam propositi quadrati, et quam magna erant duo trigona in minore quadrato, tanta erunt quatuor in maiore; ac latus maioris quadrati, quod est XVII, habebit latus minoris quadrati, quod est XII, in se et eius quincuncem; quæ proportio aritmethice potest uocari superquinquepartiens duodecimas, quia maior numerus habet minorem in se et eius quinque duodecimas partes. Idipsum poteris probare per illam proportionem, quæ, ut tu dicis, uocatur superbipartiens quintas. Fig. 2. Ecce habes, ut reor, in mensuris duplicitatem quam a me exegisti, et si in quibus clam oberraui, queso mihi rescribi. Sed quia mihi uidetur difficile ut in numeris quadrato possit duplus quadratus inueniri, ni desit aliquid uel supersit, et quoniam id facile in numeris esse proposuisti, precor, amice, qua interiori studeas diligentia mihi rescribere qualiter hoc possit fieri ut quadrato queat in numeris duplus quadratus inueniri, nihil remanente uel supercrescente. Etsi puto me adgredi magis causa temptandi quam quod te lateat ueritas huiusmodi, ego contra nihil egressus a me ipso, ago quod soleo, rescribo quod sentio, quod dixi dico tibi et amico nihil nescio. Si quid habes melius, rescribe; si nihil, his utere mecum. Igitur quia ad me litteras rescribere uoluisti tuas, non grauabor denuo tibi remittere meas : iocundum siquidem est amicis, si quando non possunt uerbis, priuata negocia conferre literulis. Atque hæc (h)actenus. Petisti tibi rescribi de angulo interiori, sed non integre percipio sensum tuæ inquisitionis; sed nisi fallor, cum Boetius dixerit « angulos interiores », tu queris qui sint exteriores, et, si nulli sint exteriores, queris cur addiderit interiores». Quod si tua est huiusmodi interrogatio, quicquid inde me percepisse suspicor, tuæ peticioni rescribo interiores angulos in planis figuris, exteriores putamus esse in solidis. Cum quadratus tantum solummodo habeat superficiei quantum ambientibus clauditur lineis, hunc si per diagonium, ut nuper fecisti, secare uolueris, cum diagonium lineas quadrati non excesserit, quos, queso, angulos nisi interiores secabis? Sed quia de his facile patet quomodo in solidis figuris sint exteriores, queris cur addiderit « interiores ». Sic collige Boetius in Aritmethicis inter solidas figuras de cubo ita dicit : а f Omnis cubus qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis creuit, habet superficies vi, latera XII, angulos viii, quorum singulus sub tribus (h)uiusmodi continetur quales priores fuere tetragoni de quibus ipse productus est. » Quid ergo? dicemus intra cubum angulos contineri? Sed quid potest absurdius dici? Et si dicimus in superficie angulos cubi contineri, unaqueque superficies quatuor angulos cubi continebit; sic numerositas cubi in xxIII accrescit angulis. Hoc quoque iocosum est scientibus fateri, et quia octo supe f Arithm., II, 25, éd. Friedlein, Leipzig, Teubner, 1877, p. 112, 20-113, 5. — ƒ singulis. riores anguli nec intra soliditatem continentur cubi, nec infra planitiem superficiei, exteriores necesse est fateri, testante Boetio, qui tribus superficiebus unumquemque probat adplicari. Nisi exterior esset ad tres superficies adplicari nequaquam posset. Cum ad obolum in diuisione peruenerim, cur hunc ipsum per regulas abaci non diuiserim, uel si non possem, partes ipsius tertiam, quartam siue quintam apposuerim, requiris. Satis siquidem inconueniens esset, et nulla laudandum auctoritate, nomen partis figure annotare quam habere non possem. Nec dico inpossibile quaslibet partes oboli posse inuenire qui enim sciunt quid sit uncia in unciam, quadrans, sescuncia uel sextans in trientem, scripulus in siliquam, calcus in duellam, sextulam, drachmama, et cetera his similia, quamcumque partem querunt, sine errore inueniunt. Sed quia uerbum sapienti sat esse sciui, hunc laborem minuendo reiterare supersedi. Duplicita quadrati mensura scio quod satis diligenter est examinata, sed nescio quo fallor errore, a duplici (ad) equalitatem nulla probatione possum redire. Ante etiam quam a te litteras accepissem, hanc eandem mensuram examinaui diligenter, sed quia perfecte, ut mihi uidebatur, non constabat, aliam firmioris auctoritatis querebam. In fine tuæ cartulæ petisti quiddam inpossibile, uidelicet quadratum ut in numeris tibi duplicarem; imposuisti etiam mihi quod hoc facile esse mandarem tibi. Nescio si manus in scripto peccauit, sed quod sciebam esse inpossibile, stultior essem quam sim, si affirmarem esse facile. Nescio si feci, sed sic uolui mandare tibi « quod non est facile in numeris ». IV RAGIMBOLDVS COLONIENSIS MAGISTER RADOLFO o LEODICENSI MAGISTRO. Quia te percipio quæ ueriora nosti soluendo mihi rescripsisse, quedam etiam dubitatiue nec definite tractasse, karitas quam mihi habes et quam a * Quid sit f. in f. 35. £.& uel •§§. in 3.5 FF in S. 3 in (transcriptio partim coniectura nititur). Sic. Rodolfo rubric. Radolfo scrib. b с XXXVI. 66 IMPRIMERIE NATIONALE. tibi custodio fides propellunt me scriptis tuis respondere et quedam subtilius in eis percontari et examinare; nam quamplura me ibi mouent, quæ uideor non perfecte uidere. Miror te dubitare de sensu inquisitionis meæ, cum, ut apertius potuerim, ipsam propositionem et in ea questiones singulas proposuerim. Sic enim propositio fuit, ut Boetius in Commento Cathegoriarum dicit : « Scimus triangulum habere tres interiores angulos equos duobus rectis. » Questio est qualiter interiores tres anguli duobus rectis sint equi, et qui sint interiores, uel ad quid referatur « interiores», quod ibi habetur : an suum positiuum ibi respiciat, an quiddam exterius querat. Admodum subtiliter et profunde dilectus noster domnus GVAzzo tractauit super hac questione, cui quia mihi non scripsit, non meum arbitror respondere. Hoc autem noui Traiectensem episcopum ADELBOLDVM eius questionis nodum eodem sensu quo et avazzo fere enodasse mihique dixisse. Atque hæc hucusque. Consentio tibi quod in quadrato per diagonium diuiso, et ex utraque parte facto triangulo, dixisti reconiunctis recti anguli dimidiis totam formam illius trianguli duobus rectis angulis supradicti quadrati coequari. Sed quod tres interiores anguli duobus rectis angulis coequentur, uel diffinitionem interioris anguli quam a te querebam, non dixisti. Interiores angulos putas esse in planis figuris, exteriores uero in solidis, quod mihi imponit quiddam difficultatis. Nam, ut a numeris incipiam, in primo actu planari triangulo ternario uel quadrato, iunctis tribus unitatibus uel quatuor, dum unitas quæ sectionem non patitur sit in angulo utriusque, quomodo sit interior magis quam exterior nescio uidere. Quod si infra unitatem angulum esse arbitraris, quem ibi locum respiciat angulus in numeris notare mihi laborabis. In cubo etiam exteriores angulos esse arbitraris. Nam omnis cubicus numerus, quotquot in latere uel superficie teneat, non nisi unitatem in angulo demonstrat; eadem igitur unitas qui magis sit exterior in cubico quam in plano angulo iudicare nequeo. Nec hoc dicens affirmo cubicos angulos in extremo non posse esse, cum sint in sex superficierum et duodecim laterum extremitate, sed in solidis magis eos exteriores quam in planis, dum in utrisque semper unitas sit in angulo, et Boetium eo dixisse « interiores angulos », incudi reddendum adhuc habeo. Forsan ad linearum spatia si recurris, tuaque scripta sic defendere temptabis, quicquid in aritmethicis numeris paulo ante prælibauimus, geometricis figuris probare temptemus. Sit enim propositus quadratus equilaterus, de quo sic fuit tuus tractatus. « Cum diagonium lineas quadrati non excesserit, quos, queso, angulos nisi interiores secabis?» Occurrit mihi non commode interior angulus quem dicis infra lineas in superficie. Velle mihi uideris, quia sint infra lineas, eo dici angulos interiores, quasi linee sint quedam superficiei partes, et extra angulum positio sit linearum. Quod si infra lineas, ut tu scribis, angulum habebimus, extra angulum positionem linearum necesse est uta subintelligamus; quod nequaquam potero consentire, nisi probes ratione, dum linee superficiei sint non partes, sed, ut mihi uidetur, quedam extremitates, nec habeant quiddam esse nisi in propria superficie, neque possint ullo modo actu ab ea separari. Hinc igitur uideamus an angulus dicatur extrema quedam rectius quam interior pars superficiei, quod propius sit rationi. Ergo si superficies est ex ea quantitate quæ constat partium positione, partes eius, quamuis continue, distant, ut arbitror, quadam inter se diuersitate. Quot enim partes uolueris, non inpossibile dandum ei habebis ex ante et retro, et dextro et sinistro, ex medio et extremo. Denique si considerabis que pars eius est media, quæ sit extrema, ut taceamus de aliis eius partibus, occurret, ut est mihi uisum, cum linearum continuatione per punctum, ultima pars etiam angulus, ultra cuius spatium nulla est positio linearum que ulterius eius spatio porrigatur uel aliquantulum, ut sic iure dici possit interius quiddam uel exterius intra lineas et angulum; sed habent unum terminum communem et continuum, id est punctum, et totum illud spatium linearum, sic per communem terminum, id est punctum, coniunctarum, nescio uocare nisi angulum. Cum mihi scriberes « interiores dicti qui possent infra linea secari », et mihi uideatur angulum et lineas uno termino finiri, iudicent lectores quid inter angulum et lineas interius uel exterius secundum locum possit examinari. |