équivalentes

1

U1 (x, y, a + p1, ß + p1) — U, (x, y, α + p2, B + p2) = 0), (C) | U2 (x, y, α + F1, ß + p1) — U2 (x, y, a + p2, ß + p2) =0, Uz (x, y, α + p1, ß + pi) — Uz (x, y, a + p2, ß + 2) =0, dans lesquelles on a eu soin de diviser les premiers membres par P1 Pg. SECOND PROBLÈME.

Étant donné le système de 9 équa

à 9 inconnues x, y, z, a1, b1, a2, b2, az, bz, on demande de supprimer les solutions, en nombre infini, résultant de la double hypothèse.

Solution. Il suffit : 1o de substituer aux inconnues a1, b1, a2, b2, az, bz les inconnues a. ß, 7, P1, P2, P3 définies par les relations

2o d'opérer sur les équations ainsi obtenues comme si l'on voulait obtenir, par la méthode exposée, les conditions pour que les trois équations,

U1 (p) = 0, U2 (p) = 0, Uz (p) = 0

aient trois solutions communes distinctes.

Indépendamment de l'application de la méthode que nous venons d'exposer à la recherche directe des points. et tangentes multiples de la première classe d'un lieu défini par des équations algébriques, ce procédé permettra de résoudre un grand nombre de problèmes qui étaient jusqu'ici inattaquables.

Remarques sur le problème traité dans le paragraphe III du chapitre Ier (p. 678 du Bulletin). Les tangentes doubles, de la courbe-enveloppe en question, résultant des couples de solutions distinctes en a1, a qui déterminent dans les relations

les mêmes valeurs de x, y, on voit que ces valeurs de a1, a sont précisément les mêmes que celles qui donnent naissance aux points doubles de la première classe du lieu auxiliaire défini par les équations (B), où l'on considère x, y comme coordonnées courantes et a, a, comme des paramètres à éliminer. Cette simple remarque constitue un moyen de recherche des tangentes doubles de l'enveloppe proposée, car nous avons appris (Problème premier du troisième chapitre) à déterminer le nombre des points doubles du lieu (B). Ajoutons :

1° Qu'à deux solutions égales en a, a, donnant les mêmes valeurs de x, y correspondent dans l'enveloppe des points d'inflexions et dans le lieu (B) des points de rebroussements ("). Il n'y a donc généralement pas dans l'enveloppe des points d'inflexions; en d'autres termes, tous les points de la courbe, pour lesquels la dérivée seconde de l'ordonnée par rapport à l'abscisse est nulle, sont des points multiples;

(*) On peut aussi s'en rendre compte géométriquement en observant que l'enveloppe en question n'est autre que la Polaire réciproque de (B) par rapport au cercle représenté par

x2 + y2 + 1 = 0.

2° Qu'ayant déjà appris à déterminer la classe et l'ordre de l'enveloppe, on a déterminé de la sorte directement quatre singularités sur six.

Errata relatif au premier problème de l'addition.

Il faut seulement substituer aux inconnues b1, b2 les inconnues B1, B2 définies par

La Classe s'occupe ensuite des préparatifs de la séance publique fixée au 16 de ce mois à 1 heure.

Voici le programme de cette solennité :

1o La classification des oiseaux depuis Linné : discours par M. le baron de Selys Longchamps, directeur de la Classe;

2o Du développement du règne végétal dans les temps géologiques; lecture par M. Alfred Gilkinet, correspondant de la Classe;

3° Rapport du jury quinquennal des sciences mathematiques et physiques (lecture d'un extrait par M. Liagre, rapporteur);

4° Proclamation, par M. le secrétaire perpétuel, des résultats des concours et des élections.

CLASSE DES LETTRES.

Séance du 1er décembre 1879.

M. LECLERCQ, directeur, président de l'Académie.
M. LIAGRE, secrétaire perpétuel.

Sont présents: MM. G. Nypels, vice-directeur; Gachard, P. De Decker, Ch. Faider, R. Chalon, Th. Juste, Alph. Wauters, Conscience, Ém. de Laveleye, A Le Roy, A. Wagener, J. Heremans, P. Willems, Ed. Poullet, S. Bormans, Ch. Piot, membres; Aug. Scheler, A. Rivier, E. Arntz, associés; P. Henrard, correspondant.

MM. Alvin, membre de la Classe des beaux-arts, et Mailly, membre de la Classe des sciences, assistent à la séance.

CORRESPONDANCE.

MM. les questeurs du Sénat et de la Chambre des Représentants envoient des cartes d'entrée à la tribune réservée pour la session législative 1879-1880.

M. le Ministre de l'Intérieur offre, pour la bibliothèque, les ouvrages suivants :

1° Inventaires divers, publiés par M. Piot, et tome V de l'Inventaire des archives des Chambres des comptes, publié par M. Pinchart, deux volumes faisant partie de la col

lection des Inventaires des archives de la Belgique; in-folio; 2° 5° fascicule de l'Exposé de la situation du royaume de 1861 à 1875; broch. in-8°;

3o Loi du 1er juillet 1879 sur l'instruction primaire; 2 vol. et 1 broch. in-8°;

4° Bibliotheca Belgica, livraisons 1 et 2, par M. Ferd. Van der Haeghen, in-12. Remercîments.

Le même haut fonctionnaire envoie différents ouvrages que son Département a reçus de la part du Gouvernement espagnol, et qui avaient été présentés au congrès des américanistes par M. Jimenez de la Espada. Remercîments.

La Classe reçoit, à titre d'hommage, les ouvrages suivants au sujet desquels elle vote des remercîments aux auteurs:

1° Gazette archéologique, publiée par MM. J. De Witte et Fr. Lenormant, 3o livr. de l'année 1879; in-4°.

2o Des efforts tentés à la fin du XVII siècle pour en traîner la Belgique dans le système prohibitionniste; par M. Alph. Wauters, 1879; ext. in-8°;

3° Documents inédits sur Philippe de Commynes, 1" partie La Ferme du Sel aux Ponts-de-Cé, et la Galéasse Nostre-Dame, par M. Ch. Fierville; broch. in-8°, offerte, au nom de l'auteur, par M. le baron Kervyn de Lettenhove;

4° Niger et Bénué, voyage dans l'Afrique centrale, par Adolphe Burdo; vol. in-12, offert, au nom de l'auteur, par M. Alph. Le Roy;

3o Les Heures de soleil, poésies, 2o, 3o et 4° époque (1854-1879), par M. Jules Bailly, 1 vol. in-12.

- M. Roersch remercie pour sa nomination de membre