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dy" donnée par les valeurs de #, # » #. D'où il suit, qu'cn général il doit rester dix - huit constantes arbitraires dans les équations finies du problême. Donc, puisque ces équations sont au nombre de neuf entre t & chacune des coordonnées, & qu'elles sont toutes se mblables entre elles, chacune de ces équations en contiendra deux semblablement placées dans chaque équation. Il suit de-là, que chacune des huit équations en deux des coordonnées en paroîtra contenir quatre, qui se réduiront à trois cn changeant l'équation de forme ; que la laissant sous la forme où elle en contiendroit quatre, la même coordonnée se trouvant dans deux équations, leurs huit arbitraires se réduisent à six par la nature du problême ; & que six de ces équations suffisant pour que toutes les fonctions semblables de chaque variable soient déterminées, toutes les arbitraires se réduiront à dix - huit, comme on sait déja que cela doit être. Les coefficiens constans déterminés seront aussi, dans chaque équation, composés de fonctions semblables des M, M', M"; & ces nombres constans seront les mêmes dans chaque équation. -

De tout ce que je viens de dire, il n'est pas difficile de conclure que, de quelque maniere que je combine mes neuf équations entre t & chacune des coordonnées, sans pourtant chasser t, je ne pourrai, à chaque différenciation, éliminer dans les équations non séparées,

plus d'arbitraires ou de fonctions transcendantes, que je n'en pourrois éliminer dans les équations séparées ; mais que par la combinaison des deux équations qui ont lieu entre trois coordonnées, je puis par deux différenciations éliminer quatre fonctions transcendantes qui se réduisent à trois, & quatre arbitraires qui se réduisent aussi à trois. Donc, puisque les équations non séparées du problême sont du second ordre , je ne puis avoir entre t & chacune des coordonnées, que des équations séparées qui contiennent deux fonctions transcendantes & deux variables; d'où il naîtra une équation algébrique du sccond ordre entre t & chaque coordonnée, & entre deux coordonnées quclconques où il n'y aura point d'arbitraire. Donc il y aura d'ailleurs entre les différentes coordonnées, des équations du troisieme ordre aussi algébriques & sans arbitraires ; & ce sont les équations séparées qui répondront aux équations non séparées du problême. Maintenant je suppose que j'élimine non seulement t, mais aussi toutes les coordonnées, ensorte qu'il ne me reste plus qu'une équation entre deux coordonnées, x & y par exemple ; si j'ai éliminé ensorte que, quoique j'aie différencié, je n'aie pas introduit de nouvelles arbitraires, j'aurai une équation qui aura pour solution incomplette une équation algébrique séparée, du second ordre, & une du troisieme : & il est clair que cette opération est toujours possible dans ce cas. Cette opération une fois exécutée, j'aurai une équation séparée qui ne doit avoir pour solution qu'une équation

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différentielle algébrique du troisieme ordre, & une équa-
tion différentielle algébrique du second sans arbitraires.
Pour en tirer les solutions, je me sers des deux méthodes
suivantes. Prenant d'abord les équations que me donne
le Problême VII de la Section I de la premiere Partie
de mon Essai sur le Calcul Intégral pour les équations
de condition, & les comparant avec l'équation que j'ai
ici à traiter, je parviendrai enfin à une équation du
troisieme ordre sans arbitraires, ou à une du second ,
ou immédiatement peut-être à toutes deux, puisqu'elles
sont toutes deux contenues dans la proposée, si on a
soin de ne négliger aucune des équations que peut faire
naître la comparaison de la proposée avec ses équations

de condition. -
La seconde méthode que je vais proposer, est abso-
lument la même que la précédente ; mais elle est plus
commode en quelque sorte pour le cas présent, quoi-
qu'en elle-même elle lui soit inférieure & en généralité
& en ce que les équations qu'elle donne ne se peuvent
mettre sous une formule générale , comme celles du
Problême VII cité ci-dessus. Je suppose que j'aie entre
deux variables dont aucune différence premiere n'est
supposée constante , une équation différentielle d'un
ordre supérieur au premier; l'intégrale finie complette
qu'elle pourra avoir, pourra contenir, outre des arbi-
traires constantes, une nouvelle variable quelconque,
dont la différence soit constahte. Si je suppose que dans
cette équation la premiere différence d'une des variables
soit constante, il est clair que l'intégrale finie de cette
- nouvelle

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constante, sera alors une des variables de l'équation. Je suppose maintenant que j'aie entre deux variables une équation différentielle où une des différences soit · supposée constante, & que je veuille la changer en une - équation où aucune des différences ne le soit; pour cela , je remarque que, soit x & y les variables & dx constant, je peux, à cause de l'homogénéité des différences, dis

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lution du premier ordre; alors supposant que, dans la proposée & la substituée, les plus hautes disserences soient sous une forme linéaire, & donnant l'unité pour coefficient dans l'une & l'autre à l'une de ces différences, je dois avoir les coefficiens de l'autre différence égaux entre eux. Si en les égalant, j'ai une équation qui ne soit pas identique, alors je traite cette équation comme la propofée.Si l'équation est identique, comme les derniers termes des deux équations sont aussi égaux, mais dans l'hypothese présente ne sont pas identiques, j'aurai en les égalant une équation que je traiterai comme la proposée. Continuant toujours ainsi, je parviendrai à une équation identique avec la substituée qui lui convient; car lorsqu'une équation d'un ordre supérieur a pour intégrale une équation d'un ordre inférieur sans arbitraires, & qui admet une solution complette, cette équation & ses différences ont été combinées ensemble, & la proposée ne differe de ses substituées que par-là; l'équation trouvée par cette méthode sera l'intégrale incomplette de la proposée. On aura par le même moyen l'intégrale complette des équations dans les arbitraires desquelles entre une nouvelle variable; & on l'aura inférieure d'autant de degrés à la proposée, qu'il y aura d'arbitraires constantes affectées de cette nouvelle variable, & par-là même quelquefois du premier, lorsque la nouvelle variable affectera toutes les arbitraires constantes, hors une. En effet, l'intégrale incomplette n'est telle, que parceque l'intégrale complette de la proposée contient la nouvelle variable, ou l'intégrale de la substituée ne contient qu'une des variables de l'équation; d'où

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