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qu'en général il doit refter dix-huit constantes arbitraires dans les équations finics du problême. Donc, puifque ces équations font au nombre de neuf entre t & chacune des coordonnées, & qu'elles font toutes fe nblables entre elles, chacune de ces équations en contiendra deux femblablement placées dans chaque équation. Il fuit de-là, que chacune des huit équations en deux des coordonnées en paroîtra contenir quatre, qui fe réduiront à trois cn changeant l'équation de forme; que la laiffant fous la forme où elle en contiendroit quatre, la même coordonnée se trouvant dans deux équations, leurs huit arbitraires fe réduifent à fix par la nature du problême; & que fix de ces équations fuffifant pour que toutes les fonctions femblables de chaque variable foient déterminées, toutes les arbitraires fe réduiront à dix-huit, comme on fait déja que cela doit être. Les coefficiens conftans déterminés feront auffi, dans chaque équation, compofés de fonctions femblables des M, M', 'M"; & ces nombres conftans feront les mêmes dans chaque équation.

De tout ce que je viens de dire, il n'eft pas difficile de conclure que, de quelque maniere que je combine mes neuf équations entre t & chacune des coordonnées, fans pourtant chaffer t, je ne pourrai, à chaque différenciation, éliminer dans les équations non féparées,

plus d'arbitraires ou de fonctions tranfcendantes, que je n'en pourrois éliminer dans les équations féparées ; mais que par la combinaison des deux équations qui ont lieu entre trois coordonnées, je puis par deux différenciations éliminer quatre fonctions transcendantes qui se réduisent à trois, & quatre arbitraires qui fe réduisent auffi à trois. Donc, puifque les équations non féparées du problême font du fecond ordre, je ne puis avoir entre t & chacune des coordonnées, que des équations féparées qui contiennent deux fonctions tranfcendantes & deux variables; d'où il naîtra une équation algébrique du fecond ordre entre t & chaque coordonnée, & entre deux coordonnées quelconques où il n'y aura point d'arbitraire. Donc il y aura d'ailleurs entre les différentes coordonnées, des équations du troifieme ordre auffi algébriques & fans arbitraires; & ce font les équations féparées qui répondront aux équations non féparées du problême.

Maintenant je fuppofe que j'élimine non feulement t, mais auffi toutes les coordonnées, enforte qu'il ne me reste plus qu'une équation entre deux coordonnées, x & y par exemple; si j'ai éliminé enforte que, quoique j'aie différencié, je n'aie pas introduit de nouvelles arbitraires, j'aurai une équation qui aura pour folution incomplette une équation algébrique féparée, du second ordre, & une du troifieme: & il eft clair que cette opération est toujours poffible dans ce cas.

Cette opération une fois exécutée, j'aurai une équation féparée qui ne doit avoir pour foution qu'une équation

différentielle algébrique du troifieme ordre, & une équation différentielle algébrique du fecond fans arbitraires. Pour en tirer les folutions, je me fers des deux méthodes fuivantes. Prenant d'abord les équations que me donne le Problême VII de la Section I de la premiere Partie de mon Effai fur le Calcul Intégral pour les équations de condition, & les comparant avec l'équation que j'ai ici à traiter, je parviendrai enfin à une équation du troisieme ordre fans arbitraires, ou à une du fecond ou immédiatement peut-être à toutes deux, puisqu'elles font toutes deux contenues dans la propofée, fi on a foin de ne négliger aucune des équations que peut faire naître la comparaifon de la propofée avec les équations de condition.

La feconde méthode que je vais propofer, eft absolument la même que la précédente; mais elle eft plus commode en quelque forte pour le cas préfent, quoiqu'en elle-même elle lui foit inférieure & en généralité & en ce que les équations qu'elle donne ne fe peuvent mettre sous une formule générale, comme celles du Problême VII cité ci-deffus. Je fuppofe que j'aie entre deux variables dont aucune différence premiere n'est fuppofée conftante, une équation différentielle d'un ordre fupérieur au premier; l'intégrale finie complette qu'elle pourra avoir, pourra contenir, outre des arbitraires conftantes, une nouvelle variable quelconque, dont la différence foit conftante. Si je fuppofe que dans cette équation la premiere différence d'une des variables soit constante, il eft clair que l'intégrale finie de cette

nouvelle

nouvelle équation fera la même que ci-deffus, fi ce n'est que la nouvelle variable, dont la différence étoit constante, fera alors une des variables de l'équation.

Je fuppofe maintenant que j'aie entre deux variables. une équation différentielle où une des différences foit fuppofée conftante, & que je veuille la changer en une équation où aucune des différences ne le foit; pour cela je remarque que, foit x & y les variables & dx conftant, je peux, à caufe de l'homogénéité des différences, dif

pofer les différences de y enforte que je n'aie que dy, ddy diy d3y dry dx dx13 dx3, &c. ou à cause de dx conftant dy,

2

dx''

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d. dy

dx

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équation où rien ne soit conftant, & dont l'intégrale foit la même que la propofée, fauf l'exception ci-dessus, je n'aurai qu'à substituer dans la propofée les valeurs des formules ci-dessus prises dans l'hypothese où tout varie, au lieu de leurs valeurs prifes dans l'hypothefe où une des différences eft conftante. Cela pofé, il est clair qu'une équation entre deux variables où aucune différence n'eft fuppofée conftante, & qui admet une folution finie.complette, doit être telle qu'en fuppofant une différentielle conftante, puis faisant les substitutions indiquées ci-deffus, l'équation qui en réfultera foit identiquement la même que la propofée, dans le cas où l'intégrale de la proposée ne contiendroit pas de nouvelle variable arbitraire. Lorf que la propofée n'admet qu'une folution finie incomplette, ou, ce qui dans ce cas revient au même, une soC

lution du premier ordre; alors fuppofant que, dans la propofée & la fubftituée, les plus hautes différences fcient fous une forme linéaire, & donnant l'unité pour coefficient dans l'une & l'autre à l'une de ces différences, je dois avoir les coefficiens de l'autre différence égaux entre eux. Si en les égalant, j'ai une équation qui ne foit pas identique, alors je traite cette équation comme la propofée. Si l'équation eft identique, comme les derniers termes des deux équations font auffi égaux, mais dans l'hypothefe préfente ne font pas identiques, j'aurai en les égalant une équation que je traiterai comme la propofée. Continuant toujours ainfi, je parviendrai à une équation identique avec la fubftituée qui lui convient; car lorfqu'une équation d'un ordre fupérieur a pour intégrale une équation d'un ordre inférieur fans arbitraires, & qui admet une folution complette, cette équation & fes différences ont été combinées enfemble, & la propofée ne differe de fes fubftituées que par-là; l'équation trouvée par cette méthode fera l'intégrale incomplette de la propoféc. On aura par le même moyen l'intégrale complette des équations dans les arbitraires defquelles entre une nouvelle variable; & on l'aura inférieure d'autant de degrés à la propofée, qu'il y aura d'arbitraires conftantes affectées de cette nouvelle variable, & par-là même quelquefois du premier, lorsque la nouvelle variable affectera toutes les arbitraires conftantes, hors une. En effet, l'intégrale incomplette n'eft telle, que parceque l'intégrale complette de la propofée contient la nouvelle variable, ou l'intégrale de la substituée ne contient qu'une des variables de l'équation; d'où

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