il fuit que ces deux intégrales ne peuvent être les mêmes qu'en égalant à zéro les coefficiens conftans arbitraires; ou, ce qui revient au même, on a produit la substituée en divifant par la différence fuppofée conftante à chaque différentiation, ce qu'on n'a point fait pour produire la proposée : d'où les termes conftans que chaque différentiation rend arbitraires doivent être supposés nuls, pour que les deux intégrales foient les mêmes. La folution incomplette étant trouvée, on aura aifément la folution complette, d'après ce que je viens de dire. En effet, il n'y a qu'à chercher à produire la proposée ou la substituée avec cette intégrale incomplette, pour voir comment étoient placées les arbitraires conftantes qu'on a fuppofées nulles. Cette méthode s'applique à un nombre quelconque de variables, en y faifant les changemens qu'exige la différence des cas, & qui n'auront aucune difficulté. On voit auffi qu'on auroit pu se dispenser de supposer les différences fupérieures fous une forme linéaire. Il est ailé de voir par la nature de cette méthode, qu'elle ne doit point donner les folutions incomplettes des ordres plus élevés que le premier, lorfque ces folutions n'ont point elles-mêmes d'intégrales. Elle ne donnera donc, dans le cas du problême que je traite, que l'équation du troisieme ordre, qui admet une folution complette,

On pourra, lorfqu'il fera question de réfoudre le préfent problême, employer d'abord la feconde méthode, qui conduira à l'équation du troisieme ordre qu'on doit avoir entre deux coordonnées quelconques. On tâchera enfuite de tirer auffi, par la premiere méthode, l'équation du fe

cond ordre entre les mêmes coordonnées, qui entre auf dans les équations du problême; & on abié gera cette recherche en négligeant de traiter les équations que donne la premiere méthode, & que la feconde auroit aufli données. Si malgré tout cela on n'avoit pas encore cette feconde équation, on la trouveroit toujours en combinant diverfement les équations de la methode avec celles du blême, puifque cette feconde équation y eft contenue.

pro

Ayant une fois une équation du troisieme ordre entre deux coordonnées quelconques, on en aura aifément entre les autres coordonnécs, puifqu'elles doivent être femblables. Il en fera de même de l'équation du second ordre, où de plus les variables fe fépareront d'elles-mêmes, dont chaque membre s'égalera à dr2 multiplié par un coefficient conftant, qu'on déterminera aifément à l'aide des équations du problême; d'où, par les méthodes connues, on réduira facilement l'équation du fecond ordre entre dt & chacune des variables, en une équation du premier. Il pourroit fe faire qu'au lieu d'équation du troisieme ordre, on n'en eût qu'une du fecond, & qu'ainsi nos deux équations entre les coordonnées fe réduififfent à une feule. Ce cas feroit le plus fimple de tous.

Je paffe maintenant au fecond cas du problême, & fuppofant que ce foit le corps dont la maffe eft M" qui foit immobile & fixe, & qu'il foit placé à l'origine des coordonnées, il est clair que les neuf équations trouvées cideffus, fe réduiront aux fix premieres, dans lefquelles il “faudra faire x", y", z′′, égaux à zero. Les réflexions que je viens de faire s'appliquant à ce cas comme au précédent,

on le réfolvera donc de même, excepté que les équations féparées feront moins élevées & le problême moins compliqué.

Quant au troifieme cas, fuppofant, comme dans fecond, que M" foit le corps immobile, & M' le corps dont le mouvement eft connu, j'aurai par l'hypothefe y' x' { en x & en x': je fubftitue ces valeurs dans les fix équations qui me reftent, je prends des trois dernieres la valeur de x' qu'elles me donnent, je la fubftitue dans les premieres, & il ne me reste plus que trois équations entre le tems & les trois coordonnées du corps M, qui me fuffiront pour réfoudre le problême, & auxquelles les réflexions que j'ai faites s'appliquent d'elles-mêmes.

Il cft aifé de voir que tout ce que je viens de dire pour trois corps eft également vrai pour quatre, cinq, fix, &c. & s'y applique également, & que les équations féparées & trouvées par la méthode, pourront être plus compliquées, mais non d'un ordre plus élevé, & qu'ainfi les difficultés feront toujours de la même nature, quelque foit le nombre de ces corps.

SECOND MEMOIRE.

ANALYSE

DU PROBLEME où il s'agiroit de trouver le Mouvement de trois Corps de figure quelconque, done les particules s'attireroient en raison inverse du quarré de leurs diftances.

MON BUT, ON BUT, dans ce Mémoire, eft de montrer par un exemple que le Problême que je traite ici, & tous les autres de cette espece, quoiqu'ils paroiffent infiniment plus compliqués, ne renferment pourtant point de difficultés d'un ordre fupérieur à celles du Problême des trois Corps. Soit ici, 10. trois corps C., C', C":

2°. dm, dm', dm" des élémens quelconques de ces

corps:

,

3°. x, y, 7 ; x', Y', {' ; x′′, Y"' ‚ 7′′; des coordonnées rectangles qui donnent la pofition d'un élément quelconque dm, dm',dm" à chaque inftant.

4°. Soit pour abréger les distances entre dm & dm' & dm",

ƒ=√ x − x2 + y¬y2+ z—” '

ƒ' = √ x − x"2 + y — ji”2 + {-{"