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il suit que ces deux intégrales ne peuvent être les mêmes qu'en égalant à zéro les coefficiens constans arbitraires ; ou, ce qui revient au même, on a produit la substituée en divisant par la différence supposée constante à chaque différentiation, ce qu'on n'a point fait pour produire la proposée : d'où les termes constans que chaque différentiation rend arbitraires doivent être supposés nuls, pour que les deux intégrales soient les mêmes. La solution incomplette étant trouvée, on aura aisément la solution complette, d'après ce que je viens de dire. En effet, il n'y a qu'à chercher à produire la proposée ou la substituée avec cette intégrale incomplette , pour voir comment étoient placées les arbitraires constantes qu'on a supposées nulles.Cette méthode s'applique à un nombre quelconque de variables, en y faisant les changemens qu'exige la différence des cas, & qui n'auront aucune difficulté. On voit aussi qu'on auroit pu se dispenser de supposer les différences supérieures sous une forme linéaire. Il est aisé de voir par la nature de cette méthode, qu'elle ne doit point donner les solutions incomplettes des ordres plus élevés que le premier, lorsque ces solutions n'ont point elles-mêmes d'intégrales. Elle ne donnera donc, dans le cas du problême que je traite, que l'équation du troisieme ordre, qui admet une solution complette, On pourra, lorsqu'il sera question de résoudre le présent problême , employer d'abord la seconde méthode, qui conduira à l'équation du troisieme ordre qu'on doit avoir entre deux coordonnées quelconques. On tâchera ensuite de tirer aussi, par la premiere méthode, l'équation du seC ij

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cond ordre entre les mêmes coordonnées, qui cntre aussi dans les équations du problême ; & on abrégera cette recherche en négligeant de traiter les équations que donne la premiere méthode,& que la seconde auroit aussi données. Si malgré tout ccla on n'avoir pas encore cette seconde équation, on la trouveroit toujours en combinant diverse ment les équations de la methode avec celles du pro

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Ayant une fois une équation du troisieme ordre entre deux coordonnées quclconques, on en aura aisément entre les autres coordonnées, puisqu'elles doivent être semblables. Il en sera de même de l'équation du second ordre, où de plus les variables se sépareront d'elles-mêmes, dont chaque membre s'égalera à d t* mulciplié par un coefficient constant, qu'on déterminera aifément à l'aide des équations du problême; d'où, par les méthodes connues, on réduira facilement l'équation du second ordre entre dt & chacune des variables, en une équation du premier. Il pourroit se faire qu'au lieu d'équation du troisieme ordre, on n'en eût qu'une du second, & qu'ainsi nos deux équations entre les coordonnées se réduisissent à une seule. Ce cas seroit le plus simple de tous. . . Je passe maintenant au second cas du problême, & supposant que ce soit le corps dont la masse est M" qui soit immobile & fixe, & qu'il soit placé à l'origine des coordonnées, il est clair que les neuf équations trouvées ci· dessus, se réduiront aux six premieres, dans lesquelles il "faudra faire x", y", 3", égaux à zero. Les réflexions que je viens de faire s'appliquant à ce cas comme au précédent, on le résolvera donc de même, excepté que les équations séparées seront moins élevées & le problême moins compliqué.

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Quant au troisieme cas, supposant, comme dans le second, que M" soit le corps immobile, & M' le corps dont le mouvement est connu , j'aurai par l'hypothese y'en x & # en x : je substitue ces valeurs dans les six équations qui me restent, je prends des trois dernieres la valeur de x qu'elles me donnent, je la substitue dans les premieres, & il ne me reste plus que trois équations entre le tems & les trois coordonnées du corps M, qui me suffiront pour résoudre le problême, & auxquelles les réflexions que j'ai faites s'appliquent d'elles-mêmes.

Il cst aisé de voir que tout ce que je viens de dire pour trois corps est également vrai pour quatre, cinq, six, &c. & s'y applique également, & que les équations séparées & trouvées par la méthode, pourront être plus compliquées, mais non d'un ordre plus élevé , & qu'ainsi les difficultés seront toujours de la même nature , quelque soit le nombre de ces corps.

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DU PRoB LE ME il s'agiroit de trouver le Mouvement de trois Corps de figure quelconque, dont les particules s'attireroient en raison inverse du quarré de leurs distances.

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Mos B U T, dans ce Mémoire, est de montrer par un exemple que le Problême que je traite ici, & tous les autres de cette espece, quoiqu'ils paroissent infiniment plus compliqués, ne renferment pourtant point de difficultés d'un ordre supérieur à celles du Problême des trois Corps. Soit ici, 1°. trois corps C, C', C" : 2°. dm, d m', dm" des élémens quelconques de ces corps : 3°. x, 3/, 7 ; x', y', #'; x", y", ;"; des ceerdonnées rectangles qui donnent la position d'un élément quelconque dm, dm , dm" à chaque instant.

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