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les intégrales par les méthodes connues pour les quadratures. Quant aux intégrales qui naissent des forces, on les aura par une double opération, ne regardant dans chacune comme variable que les coordonnées du corps dont l'élément se trouve sans le signe.

Toutes ces opérations exécutées, j'aurai entre les variables des équations algébriques : car puisque les angles * X , Y, z ; x', Y', z'; x", F", z", ne se trouvent pas dans ces équations, mais seulement leurs différences, on peut les en faire aisément disparoître, pour n'y plus laisser que leurs sinus ou cosinus & leurs différenccs.

Les équations entre les variables seront telles qu'il n'y en a aucune qui ne contienne les dix-neuf variables du Problême; le tems, dont la différence dt* se trouve dans chaque équation, sera éliminé en égalant les valeurs de d t* prises de deux de ces équations, & on parviendra · par des différentiations réitérées à des équations qui ne contiendront plus que deux variables & auront lieu entre · deux coordonnées. Ces équations seront celles qu'on aura à intégrer pour résoudre le Problême, & sur lesquelles on peut faire les réflexions suivantes.

1°. Le mouvement du centre de gravité, & le mouvement giratoire de chacun des corps, sera donné par dixhuit équations, dont neuf entre le tems & chacune des neuf coordonnées du mouvement des centres de gravité, & neuf entre le tems & les sinus & cosinus des angles du mouvement giratoire. Les neuf premieres seront toutes semblables entr'elles de même que les neuf dernieres, & il en sera de même des équations différentielles qui en pourroient naître.

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& leurs directions données par de semblables formules. Les arbitraires seront en tout au nombre de trente-six ; dix-huit se rapporteront au mouvement du centre de gravité, se trouveront semblablement placées dans les neuf équations semblables entre t & chacune des coordonnées qui donnent ce mouvement, la premiere différen

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tiation aura fait disparoître les neuf premieres, & la seconde les neuf dernieres. Les dix-huit autres se rapporteront au mouvement giratoire, & seront produites & distribuées d'une maniere semblable. De tout cela & de ce que les équations trouvées ne sont que du second ordre, il est aisé de voir que chaque équation séparée entre t & une des coordonnées quelconque ne peut contenir plus de fonctions transcendantes de cette coordonnée ( quoiqu'elle en puisse contenir moins ) que n'en peuvent faire évanouir deux différentiations successives, & ne peut avoir non plus que deux arbitraires. Les équations entre les coordonnées n'en pourront contenir que quatre, réductibles à trois par elles mêmes. L'élimination étant faite, si on observe de faire entrer dans chaque opération les équations du Problême, & non pas seulement leurs différences, il sera toujours possible de parvenir à une équation qui aura pour intégrale une équation Algébrique du troisieme ordre sans arbitraires, ou même une du second. Donc les difficultés de ce Problême seront du même ordre que celles du Problême précédent, & on pourra y faire les mêmes remarques.

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La méthode sera la même pour un nombre de corps quelconque, & le Problême sans être d'un autre ordre, sera seulement plus compliqué. On peut dire la même chose de tout Problême où l'on cherchera le mouvement d'un systême de corps quelconque où tout sera mutuel &

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Sij'ai entre un nombre n de variables un nombre n— t d'équations différentielles, le nombre des fonctions transcendantes & des arbitraires sera en tout la somme des exposans de l'ordre de toutes ces équations; les fonctions étant prises comme je l'explique dans la II° Section de la premiere Partie du Calcul Intégral. Quant à la maniere dont elles seront distribuées dans les équations séparées, on la trouvera à posteriori par la méthode expliquée dans le Mémoire précédent, lorsque la nature du Problême ne la donnera pas à priori. •"

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Les neuf premieres équations donneront seules indéendamment des autres le mouvement des centres de gravité, lorsque les fonctions qui s'y trouvent contenir les sinus & cosinus du mouvement giratoire seront nulles, ou que les égalant à une fonction dépendante seulement de la figure des corps & indépendante du mouvement du centre de gravité, on aura une équation qui convienne avec celles du Problême. Les neuf dernieres dans des suppofitions semblables, donneront aussi le mouvement giratoire indépendamment des neuf premieres.

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