les intégrales par les méthodes connues pour les quadratures. Quant aux intégrales qui naiffent des forces, on les aura par une double opération, ne regardant dans chacune comme variable que les coordonnées du l'élément fe trouve fans le figne.

corps dont

Toutes ces opérations exécutées, j'aurai entre les variables des équations algébriques : car puifque les angles. 'X, Y, Z ; X', y', z' ; x", y", z", ne fe trouvent pas dans ces équations, mais feulement leurs différences, on peut les en faire aifément difparoître, pour n'y plus laiffer que leurs finus ou cofinus & leurs différences.

Les équations entre les variables feront telles qu'il n'y en a aucune qui ne contienne les dix-neuf variables du Problême; le tems, dont la différence dt fe trouve dans chaque équation, fera éliminé en égalant les valeurs de dt' prifes de deux de ces équations, & on parviendra par des différentiations réitérées à des équations qui ne contiendront plus que deux variables & auront lieu entre deux coordonnées. Ces équations feront celles qu'on aura à intégrer pour réfoudre le Problême, & fur lefquelles on peut faire les réflexions fuivantes.

1°. Le mouvement du centre de gravité, & le mouvement giratoire de chacun des corps, fera donné par dixhuit équations, dont neuf entre le tems & chacune des neuf coordonnées du mouvement des centres de gravité, & neuf entre le tems & les finus & cofinus des angles du mouvement giratoire. Les neuf premieres feront toutes femblables entr'elles de même que les neuf dernieres, & il en fera de même des équations différentielles qui en pourroient naître.

2°. Le mouvement fera également donné par une équation entre t & une variable quelconque, puis.deux équations entre les coordonnées x, y, z; deux entre les coordonnées z', y', z'; deux entre les coordonnées x", Y", z"; deux entre les fin. & cof. de X, Y, z; deux entre les fin. & cof. de x', r', z'; deux entre les fin. & cof. de X", y", Z′′; deux entre x & x' ou y & y' ou z & z, & x & x" ou Y & Y" ou z & z"; deux entre les fin. & cof. de x & x ou de y & y' ou de z & z', & les fin, & cof. de x & x" ou Y & Y" ou z & z"; une enfin entre x & les fin. ou cof. de x, &c. Les équations que je propose ici sous la particule disjonctive doivent être semblables entr'elles, c'està-dire qu'elles ne doivent différer que par les différentes variables qui y entrent, & non par la forme. Les équations en x, y & x, z seront semblables aux équations en x', & x', z', & aux équations entre x', x" & x", z". L'équation en X & Y fera femblablement compofée de x & de y; celle en x & z fera femblablement composée de x & de z. Les fonctions de y dans la premiere seront femblables aux fonctions de z dans la feconde, & on aura une autre équation auffi semblable entre y & z; d'où il eft aifé de conclure qu'on doit avoir une fonction de x égale à une semblable fonction de y, & la même fonction de x égale à une fonction semblable de z. Il en fera de même des équations entre x' & y', x' & z' ; & x" & Y", x" & z"; & dans toutes les équations semblables entre elles, les coefficiens feront toujours pour le mouvement de chaque corps des fonctions femblables de quantités

E ij

dépendantes des corps C, C', C". On doit dire des fix équations entre fin. & cof. de X & Y, fin. & cof. de x & z, fin. & cof. de x' & r', fin. & cof. de x' & z', fin. & cof. de x" & ",fin. & cof. de x" & z", la même chose que des fix équations précédentes. Les équations entre x & x, x & x" feront semblables, compofées de fonctions femblables de chacune des variables, & les coefficiens auffi compofés de fonctions femblables dépendantes de C & de C', ou de C & de C". Il en fera de même des équations entre fin. & cof. de x & de x', & fin. & cof. de x & de x".

3°. Les quantités conftantes à déterminer dans le Problême, qui, ne fe pouvant trouver dans les équations différentielles, font les mêmes par conséquent que celles que les différentiations ont pu éliminer, & les mêmes par conféquent que les arbitraires des équations intégrales, sont les valeurs des neuf coordonnées du mouvement des centres de gravité, au commencement du mouvement, les valeurs correfpondantes des neuf fin. & cof. du mouvement giratoire, les vîteffes de chacun des centres de gravité, & leurs directions, dans ce moment, pour lesquelles il fuffit d'avoir les valeurs de di di dt dt' di > di ; les vîteffes enfin du mouvement giratoire & leurs directions données par de femblables formules. Les arbitraires feront en tout au nombre de trente-fix; dix-huit fe rapporteront au mouvement du centre de gravité, fe trouveront femblablement placées dans les neuf équations femblables entre & chacune des coordonnées qui donnent ce mouvement, la premiere différen

'dx" dy" dz"

dt di

dt

dx dy dz dx' dx' dz'

tiation aura fait difparoître les neuf premieres, & la seconde les neuf dernieres. Les dix-huit autres fe rapporteront au mouvement giratoire, & feront produites & diftribuées d'une maniere semblable.

De tout cela & de ce que les équations trouvées ne font que du fecond ordre, il eft aifé de voir que chaque équation séparée entre t & une des coordonnées quelconque ne peut contenir plus de fonctions tranfcendantes de cette coordonnée (quoiqu'elle en puiffe contenir moins) que n'en peuvent faire évanouir deux différentiations fucceffives, & ne peut avoir non plus que deux arbitraires. Les équations entre les coordonnées n'en pourront contenir que quatre, réductibles à trois par elles-mêmes. L'élimination étant faite, fi on obferve de faire entrer dans chaque opération les équations du Problême, & non pas feulement leurs différences, il fera toujours poffible de parvenir à une équation qui aura pour intégrale une équation Algébrique du troisieme ordre fans arbitraires, ou même une du fecond. Donc les difficultés de ce Problême feront du même ordre que celles du Problême précédent, & on pourra y faire les mêmes faire les mêmes remarques.

REMARQUE I.

La méthode sera la même pour un nombre de corps quelconque, & le Problême fans être d'un autre ordre, fera feulement plus compliqué. On peut dire la même chofe de tout Problême où l'on cherchera le mouvement d'un fyftême de corps quelconque où tout fera mutuel &

dont les équations différentielles ne feront que du fecond ordre.

REMARQUE II.

Si j'ai entre un nombre n de variables un nombre nd'équations différentielles, le nombre des fonctions transcendantes & des arbitraires fera en tout la fomme des expofans de l'ordre de toutes ces équations; les fonctions étant prises comme je l'explique dans la II Section de la premiere Partie du Calcul Intégral. Quant à la maniere dont elles feront diftribuées dans les équations féparées, on la trouvera à pofteriori par la méthode expliquée dans le Mémoire précédent, lorfque la nature du Problême ne la donnera pas à priori.

REMARQUE III.

Les neuf premieres équations donneront feules indépendamment des autres le mouvement des centres de gravité, lorfque les fonctions qui s'y trouvent contenir les finus & cofinus du mouvement giratoire feront nulles, ou que les égalant à une fonction dépendante feulement de la figure des corps & indépendante du mouvement du centre de gravité, on aura une équation qui convienne avec celles du Problême. Les neuf dernieres dans des fuppofitions femblables, donneront auffi le mouvement giratoire indépendamment des neuf premieres.