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Si les intégrations que je suppose être faites par rapport aux signes z, introduisoient dans les proposées des fonctions transcendantes , les réflexions ci - dessus auroient également lieu , puisque ces transcendantes seroient connues. Si au lieu de supposer ces intégrations, on fait évanouir les signes 2 par des différentiations qui n'affectent que les p, q, r, dm, x dm, on aura des équations encore du même ordre, par rapport aux variables du mouvement : on les auroit par la même méthode, en regardant comme constantes les quantités qui ne dépendent que de la figure ; & en intégrant ensuite, en regardant ces quantités comme les seules variables, on aura résolu ce problême. La méthode est la même pôur toutes les équations qui contiennent des variables, absolument indépendantes les unes des autres. On aura aussi par-là la figure des corps, leur mouvement étant donné, comme on avoit eu ci-dessus le mouvement, la figure étant donnée.

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LA Méthode d'intégrer que je me propose de donner ici, est fondée sur les mêmes principes que celle que j'ai déja donnée. Je la crois plus commode, & aussi générale dans la pratique , quoi qu'elle le soit infiniment moins à regarder les choses d'une maniere abstraite. Si j'ai entre x & y une équation algébrique délivrée de dénominateurs & de radicaux, j'aurai y égale à une fonction de x, que je trouverai en résolvant l'équation ordonnée par rapport à y; j'aurai donc autant de valeurs de y en x , que cette équation a de racines. Ces valeurs seront liées entr'elles, comme le sont les racines des équations algébriques à une seule variable. Ces dernieres racines se pourront toujours trouver en général, quelque soit le dégré de l'équation, à l'aide des réflexions suivantes. 1°. Elles seront composées de nombres & de fonc

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tions entieres, dépendantes des coefficiens des puissances de y. 2°. Ces fonctions entieres ne pourront êrre affectées d'un signe radical plus élevé que l'exposant du dégré de la proposée : ces fonctions ainsi affectées, ne pourront être qu'en nombre inférieur à ce même exposant. 3". Ces mêmes fonctions entreront dans chaque racine & seront liées entr'elles, cn sorte qu'elles soient les racines d'une équation d'un ordre inférieur, dont l'exposant soit égal à leur nombre. 4°. Les coefficiens en nombres qu'elles pour

roient avoir pris dans une même racine, dépendront aussi

d'une équation de ce même ordre inférieur,pris dans les différentes racines de la proposée : ils seront aussiles différentes racines d'une équation d'un ordre inférieur d'une unité à celui de la proposée.5°. Multipliant toutes ces racines les unes par les autres pour produire la proposée,il faut que les coefficiens numériques de chaque radical qui restera dans le coefficient de chaque puissance, soient égaux à zéro; & que les fonctions sans radicaux qui resteront dans les coef. ficiens de chacune de ces mêmes puissances, soient égales au coefficient de cette puissance dans la proposée, ce qui donnera des équations pour les déterminer : ces coefficiens seront du nombre inférieur d'une unité à l'exposant du dégré de la proposée; & mettant dans chaque racine un terme rationel égal au coefficient du second terme divisé par l'exposant, on aura l'équation cherchée pour ce sccond terme : ainsi les fonctions affectées de radicaux devront contenir un nombre de fonctions rationelles moindre de deux unités , & conséquemment égal à celui que contient la racine d'un dégré inférieur d'une unité.

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6°. Enfin il sera permis de supposer que le produit de toutes ces racines qui se trouvent sous un signe radical & qui est nécessairement rationel, soit une puissance parfaite de même degré que l'exposant du radical. Il suit de tout cela, qu'il sera facile de trouver immédiatement, pour un degré quelconque, un nombre fini de formes, entre lesquels on trouvera celle que doivent avoir les racines de l'Equation proposée, en cherchant à la produire par la multiplication de ces racines. On trouveroit , par exemple , que xo + a x* + b x + c = o, doit être le produit des

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