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REMARQUE IV.

Si les intégrations que je fuppofe être faites par rapport aux fignes Σ, introduifoient dans les propofées des fonctions tranfcendantes, les réflexions ci- deffus auroient également lieu, puifque ces tranfcendantes feroient connues. Si au lieu de fuppofer ces intégrations, on fait évanouir les fignes par des différentiations qui n'affectent que les p, q,r, dm, z dm, on aura des équations encore du même ordre, par rapport aux variables du mouvement: on les auroit par la même méthode, en regardant comme conftantes les quantités qui ne dépendent que de la figure; & en intégrant enfuite, en regardant ces quantités comme les feules variables, on aura réfolu ce problême. La méthode eft la même pour toutes les équations qui contiennént des variables, abfolument indépendantes les unes des autres. On aura auffi par-là la figure des corps, leur mouvement étant donné, comme on avoit eu ci-deffus le mouvement, la figure étant donnée.

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METHODE

D'APPROXIMATION,

OU.

APPLICATION DES SUITES INFINIES

A L'INTÉGRATIO N.

LA Méthode d'intégrer que je me propofe de donner ici, eft fondée fur les mêmes principes que celle que j'ai déja donnée. Je la crois plus commode, & auffi générale dans la pratique, quoi qu'elle le foit infiniment moins à regarder les chofes d'une maniere abftraite.

Si j'ai entre x & y une équation algébrique délivrée de dénominateurs & de radicaux, j'aurai y égale à une fonction de x, que je trouverai en réfolvant l'équation ordonnée par rapport à y; j'aurai donc autant de valeurs de y en x, que cette équation a de racines. Ces valeurs feront liées entr'elles, comme le font les racines des équations algébriques à une feule variable. Ces dernieres racines fe pourront toujours trouver en général, quelque foit le dégré de l'équation, à l'aide des réflexions fuiyantes. 1°. Elles feront compofées de nombres & de fonc

F

tions entieres, dépendantes des coefficiens des puiffances de y. 2°. Ces fonctions entieres ne pourront êrre affectées d'un figne radical plus élevé que l'expofant du dégré de la propofée ces fonctions ainfi affectées, ne pourront être qu'en nombre inférieur à ce même expofant. 3°. Ces mêmes fonctions entreront dans chaque racine & feront liées entr'elles, en forte qu'elles foient les racines d'une équation d'un ordre inférieur, dont l'expofant foit égal à leur nombre. 4°. Les coefficiens en nombres qu'elles pourroient avoir pris dans une même racine, dépendront auffi d'une équation de ce même ordre inférieur, pris dans les différentes racines de la propofée : ils feront auffi les différentes racines d'une équation d'un ordre inférieur d'une unité à celui de la propofée.5°. Multipliant toutes ces racines les unes par les autres pour produire la propofée,il faut que les cocfficiens numériques de chaque radical qui reftera dans le coefficient de chaque puissance, foient égaux à zéro; & que les fonctions fans radicaux qui resteront dans les coefficiens de chacune de ces mêmes puiffances, foient égales au coefficient de cette puiffance dans la propofée, ce qui donnera des équations pour les déterminer : ces coefficiens feront du nombre inférieur d'une unité à l'expofant du dégré de la propofée; & mettant dans chaque racine un terme rationel égal au coefficient du fecond terme divifé par l'expofant, on aura l'équation cherchée pour ce fecond terme ainfi les fonctions affectées de radicaux devront contenir un nombre de fonctions rationelles moindre de deux unités, & conféquemment égal à celui que contient la racine d'un dégré inférieur d'une unité.

6o. Enfin il fera permis de fuppofer que le produit de toutes ces racines qui fe trouvent fous un figne radical & qui eft néceffairement rationel, foit une puiffance parfaite de même degré que l'expofant du radical. Il fuit de tout cela, qu'il fera facile de trouver immédiatement, pour un degré quelconque, un nombre fini de formes, entre lefquels on trouvera celle que doivent avoir les racines de l'Equation propofée, en cherchant à la produire par la multiplication de ces racines. On trouveroit, par exemple, que x3+ax2+bx+c=o, doit être le produit des

racines x +p+m√√ q + V T + n√ q — VT

x+p+m√q+√7+ n√ q — VT

x+p+m"√√q+VT+ n √ q — √ T

& les racines d'une équation x4 + ax3 + b x2 + cx +d=o, fe trouveront devoir être de la forme x + p +√ AX+BX'+CX" + √√ A'X + B'X' + C'X"

+

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- √√ A′′X2+B′′XX'+CXX"+D"X"2+E"X'X"+F"X"2, p étant une quantité entière & rationelle, égale à, ža, X, X', X" étant les trois racines d'une équation du troifieme degré, & les autres caracteres étant des nombres. Le Problême général de réfoudre une Equation donnée, fera réfolu généralement par cette Méthode, & n'aura plus d'autres difficultés,que celles d'un calcul toujours de plus en plus compliqué; Calcul auquel je ne m'arrêterai point,

* F ij

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