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ment aux équations qui contiendroient un plus grand nombre de variables. Si on vouloit trouver ces mêmes conditions pour une équation différentielle, dont l'intégrale est inconnue, on supposeroit, par exemple, que V est la différentielle exacte d'une fonction de x, plus une fonction de y d'un ordre quclconque. Une méthode semblable à celle du Problêmc second , Cal. intégral, pag. 8 , donneroit les équations de condition dans cette supposition ; & clles ne différeroient de celles de ce Problême, qu'en ce qu'au lieu des différences entieres d, on auroit des différences par· ticlles, répondant à x & à ses différences, ou à y & à ses différences. Par la méthode ensuite du Problême cinq, pag. 22 , on trouvera une formule qui, étant débarrassée du coefficient général, qui doit rendre la proposée une différentielle complette, & des différentielles de x ou de y, supérieures à celle que contient V = o, & cela à l'aide des différences partielles répondant à x ou y, sera ou nulle par elle-même, ou aura lieu en même tems que V= o, lorsque V= o pourra avoir une intégrale de cette forme. Il en sera de même pour un nombre de variables quelconque, & pour tout autre supposition semblable. Ces recherches auront une très grande utilité, en ce que dans la pratique , les équations, où ces indéterminées peuvent être séparées,sont presque les seules dont on puisse se servir ; & en ce que, connoissant dans les formules d'intégrales, celles où cette séparation a ou n'a pas lieu, & le connoissant aussi pour chaque différentielle proposée, on

ne comparera à chaque équation différentielle, que les in-
tégrales de la classe de celles qu'on saura par-là lui con-
VCn1r.
Maintenant, si j'ai entre x & y une équation différen-
tielle d'un ordre quelconque, en sorte que j'aie y égale à
une fonction de x, il est aisé de voir, 1°. que cette fonc-
tion de x ne pourra contenir qu'un nombre égal à l'expo-
sant de l'ordre de l'équation différentielle de fonctions
transcendantes de x, qui ne pourront entrer dans la com-
position les unes des autres, comme on le peut voir dans
le Calcul intégral, page 37 & suivantes, & que j'appellerai
de même r, s, t, &c. 2°. Que dans cette fonction les
arbitraires, que la différentiation devra faire disparoître
pour avoir la proposée, seront disposées selon les diffé-
rentes formes que peuvent avoir r, s, t, &c., comme on
l'explique au même endroit. 3°. Que désignant par n
l'exposant de l'ordre de la proposée, faisant disparoître les
dénominateurs & les radicaux, la fonction transcendan-
te la plus composée ne pourra contenir de radicaux plus
élevés que l'exposant de la puissance de doy; & que quant
aux autres fonctions transcendantes, mettant dans l'é-
quation proposée x + g à la place de x , g étant une
constante indéterminée, afin qu'on puisse supposer tou-
jours y = a + b x + cx* + dxo, &c., substituant, puis
comparant terme à terme, il est clair que le nombre & le
dégré de ces radicaux, comme de ceux de la fonction al-
gébrique de x qui entre dans la valeur de y, seront assujet-
tis à ne point donner plus de valeurs de y , qu'on n'en

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trouve dans la comparaison ci dessus pour chaque terme de la suite. Dans le Problême des quadratures ou ceux qui s'y réduisent, c'est-à-dire, où y ne se trouve point dans l'équation du premier ordre y, ni dy dans celle du second, &c, ces radicaux étant donnés, & l'intégrale n'en pouvant contenir d'autres, on a immédiatement la forme dont y est susceptible ; & il est clair que la valeur de l'ordonnée en l'abcisse dépendante.d'une équation d'un dégré quelconque, on aura, si la courbe est exactement quarrable, une équation du même dégré entre l'aire & la même abcisse. On voit que tout ce que je viens de dire est applicable, mutatis, mutandis, au cas où l'on a simplement une fonction de y égale à une fonction de x. Tout ceci posé & la forme de la suite déterminée en général, il n'y aura plus qu'à la substituer dans la proposée , & en déterminer ensuite les coefficiens ; mais avant de faire cette substitution, il faudroit avoir la forme générale des suites dont la somme est algébrique. Sans cela, la suite a + b x + cx* + dxo .... donnant en général la valeur de y, on n'auroit, en substituant, des suites plus compliquées , que des valeurs indéterminées pour les coefficiens. Je tirerai la méthode que je vais donner ici, pour avoir cette forme, d'un Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie des Sciences , au mois d'Oétobre 1761. On l'y proposoit comme générale pour les quadratures, rectifications absolues , & même pour l'intégration, toutes les fois qu'une variable étoit fonction algébrique d'une autre.

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