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d'autant que j'apprends que M. Bézout a donné fur cette matiere, une Méthode qui lui eft propre, mais dont je n'ai point eu connoiffance jufqu'ici. Il eft aifé de voir què ce que je viens de dire d'une Equation algébrique, à une ou à deux variables, eft également vrai quelque foit lè nombre de variables, & eft réciproque pour chacune. Mais il n'en eft pas de même des Equations non algébrique's, & c'eft ce qu'il faut que j'examine ici.

Je fuppofe que j'aie, par exemple, 1. x+x+b=0, b étant un nombre entier dans cet exemple, il eft clair qu'il faut que x foit un nombre, que 1. x en foit auffi un l. un, & que le logarithme de ce nombre, plus le nombre luimême, foit égal à b, ce qui affujettit le nombre entier 6 à certaines conditions. Je fuppofe pareillement que j'aie l'Equation intégrale,

&

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a

b

Nétant une arbitraire, il eft clair que je n'aurai la valeur de y en x, que fi — — —; ce qui réduit la forme propoféc à ax + by + cp + No, ou bien fi bo ou b'=0; que fi dans ce dernier cas, je veux avoir auffi la valeur dex en y, il faut ou que ao & b'—o, ou a=0&b=。. Ces exemples fuffifent pour faire voir comment dans des Equations plus compliquées, il faut s'y prendre pour diftinguer les cas où l'on peut avoir y en x ou x en y, où tous deux à la fois. Les mêmes principes apprendront à diftinguer de même les cas où l'on peut avoir une fonction dey, égale à une fonction de x, & s'appliqueront égale

ment aux équations qui contiendroient un plus grand nombre de variables.

Si on vouloit trouver ces mêmes conditions pour une équation différentielle, dont l'intégrale eft inconnue, on fuppoferoit, par exemple, que Veft la différentielle exacte d'une fonction de x, plus une fonction de y d'un ordre quelconque. Une méthode femblable à celle du Problême fecond, Cal. intégral, pag. 8, donneroit les équations de condition dans cette fuppofition; & clles ne différeroient de celles de ce Problême, qu'en ce qu'au lieu des différences entieres d, on auroit des différences partielles, répondant à x & à ses différences, ou à y & à fes différences. Par la méthode enfuite du Problême cinq, pag. 22, on trouvera une formule qui, étant débarraffée du coefficient général, qui doit rendre la propofée une différentielle complette, & des différentielles de x ou de y, fupéricures à celle que contient V= 0, & cela à l'aide des différences partielles répondant à x ouy, fera ou nulle par elle-même, ou aura lieu en même tems que V=0, lorfque Vo pourra avoir une intégrale de cette forme. Il en fera de même pour un nombre de variables quelconque, & pour tout autre fuppofition semblable.

Ces recherches auront une très grande utilité, en ce que dans la pratique, les équations, où ces indéterminées peuvent être léparées, sont presque les feules dont on puisse fe fervir; & en ce que, connoiffant dans les formules d'intégrales, celles où cette féparation a ou n'a pas lieu, & le connoiffant auffi pour chaque différentielle propofée, on

ne comparera à chaque équation différentielle, que les intégrales de la claffe de celles qu'on saura par-là lui con

venir.

Maintenant, fi j'ai entre x & y une équation différentielle d'un ordre quelconque, en forte que j'aie y égale à une fonction de x, il eft aifé de voir, 1°. que cette fonction de x ne pourra contenir qu'un nombre égal à l'expofant de l'ordre de l'équation différentielle de fonctions tranfcendantes de x, qui ne pourront entrer dans la compofition les unes des autres, comme on le peut voir dans le Calcul intégral, page 37 & fuivantes, & que j'appellerai de même r, s, t, &c. 2°. Que dans cette fonction les arbitraires, que la différentiation devra faire disparoître pour avoir la propofée, feront difpofées felon les différentes formes que peuvent avoir r, s, t, &c., comme on l'explique au même endroit. 3°. Que défignant par n l'expofant de l'ordre de la propofée, faisant difparoître les dénominateurs & les radicaux, la fonction transcendante la plus compofée ne pourra contenir de radicaux plus élevés que l'expofant de la puissance de d"y; & que quant aux autres fonctions tranfcendantes, mettant dans l'équation propofée x+g à la place de x, g étant une conftante indéterminée, afin qu'on puiffe fupposer toujours y = a + bx + c x2 + dx3, &c., fubftituant, puis comparant terme à terme, il est clair que le nombre & le dégré de ces radicaux, comme de ceux de la fonction algébrique de x qui entre dans la valeur de y, feront affujet. tis à ne point donner plus de valeurs de y, qu'on n'en

trouve dans la comparaifon ci deffus pour chaque terme de la fuite. Dans le Problême des quadratures ou ceux qui s'y réduifent, c'est-à-dire, où y ne fe trouve point dans l'équation du premier ordre y, ni dy dans celle du fecond, &c, ces radicaux étant donnés, & l'intégrale n'en pouvant contenir d'autres, on a immédiatement la forme dont y eft fufceptible; & il eft clair que la valeur de l'ordonnée en l'abciffe dépendante.d'une équation d'un dégré quelconque, on aura, fi la courbe eft exactement quarrable, une équation du même dégré entre l'aire & la même abciffe.

On voit que tout ce que je viens de dire eft applicable, mutatis, mutandis, au cas où l'on a fimplement une fonction de y égale à une fonction de x.

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Tout ceci pofé & la forme de la fuite déterminée en général, il n'y aura plus qu'à la substituer dans la propofée, & en déterminer enfuite les coefficiens; mais avant de faire cette substitution, il faudroit avoir la forme générale des fuites dont la fomme eft algébrique. Sans cela, la fuite a + bx + cx2 + dx3 ........ donnant en général la valeur de y, on n'auroit, en fubftituant, des fuites plus compliquées, que des valeurs indéterminées pour les coefficiens. Je tirerai la méthode que je vais donner ici, pour avoir cette forme, d'un Mémoire que j'ai eu l'honneur de préfenter à l'Académie des Sciences, au mois d'Octobre 1761. On l'y propofoit comme générale pour les quadratures, rectifications abfolues, & même pour l'intégration, toutes les fois qu'une variable étoit fonction algé brique d'une autre.

Je fuppofe que j'aie entre les variables, x & y l'équation algébrique du dégré m.

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Soit,y=a+bx + cx2 + dx3 + cx+ • • + (n) x2 +(n+1)xn+1... une des racines de cette équation fous la forme d'une fuite infinie, où je défigne pour plus de commodité le coefficient d'un terme x" par (n). Il eft clair que fubftituant cette valeur de y dans l'équation, je dois avoir égal à zero le coefficient de chaque puiffance de x. Appellant donc en général (n )(m) le coefficient de x" dans la suite élevée à la puiffance m, j'aurai en général l'équation

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