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Valeur générale, de laquelle on a facilement les valeurs

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Je fubftitue ces valeurs dans l'équation précédente, & elle devient

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Tirant de cette équation indéfinie la valeur de a, j'aurai la forme du terme général d'une fuite égale à la racine d'une équation algébrique, le nombre des termes dont dépendra ce terme général mis fous cette forme, étant le nombre entier plus petit que n-. Toutes les fois qu'il

n

m

dex,

faudra pour une valeur particuliere de n, ajouter une quantité conftante à la valeur générale pour avoir le coefficient il eft clair que cela indiquera un terme dans la fuite indéfinic que je place à la fin de mon équation algébrique, dont l'expofant foit cette valeur particuliere de n, & le coefficient, la conftante multipliée par

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Cette méthode peut-être utile pour fommer immédiatement une fuite donnée, dont le terme général foit fous une forme fufceptible d'être comparée à celle que je viens de trouver. En voici quelques exemples.

I

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Soit la fuite +¦x+} x2 — } x3 + 1x4 —— 1x5 ±·· la loi de la fuite étant telle

(n) =

que

I −2·1+1(n − 1) + 2 · ÷ (R −2 ) + 2 · ( n − 3 ) · · · · 3

le nombre des termes qui entrent dans cette formule étant l'entier, & le coefficient du dernier terme n'étant point

2

multiplié par 2, lorsque n est un nombre pair; comparant cette forme avec la forme ci-deffus, je vois qu'elles conviennent en faifant, m=2; A, A', B'‚=1. Je ferai donc A=—a• Aa+A'—— 2,B

B' a
2 Aa+A'

+b

+c•2Aa+A'——},

& j'aurai l'équation y2+xy+y— 7 x2 — { x - -2=0.

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fais x=0, & j'aiy=±√? —. Ory doit par l'hypothèse être égale à 1 dans ce cas; donc je dois prendre le figne + pour avoir la vraie valeur de la fomme de la fuite.

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I

EXEMPLE I I.

Soit la loi d'une fuite telle que A (n)

A(n) ==

-B (n-1) - C(n-2) — D (n-3), & ainfi de fuite jufqu'au

terme n―m+1, j'aurai l'équation y · A + Bx+ Cx2 + Dx3

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+ A + Bx + г x2 + Ax3

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0.

Le cas de la formule générale donne toute la théorie des fuites récurrentes.

I

EXEMPLE I I I.

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Soit une fuite telle que (n) =n+1 que (n)=n+1, j'aurai (n − 1) = n, (n − 2) 2)=n-1; donc (n) = 2 • (n— 1 ) — (n—2); donc, exemple précédent, A=1, B=—2, C=1, y • 1 — 2x + x2+ A+B x + rx2=o. Si je veux que a=1,b=2,c=3, j'aurai y=1+2x + 3x2 + 4x3+ 1—2x+x2; mais si je veux que a = fi ap, b=p+1, c=p2, p étant un nombre entier, j'aurai y= P+1-p.x

&c.

I

multipliant cette nouvelle fuite & la valeur par

1—2x+x2

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retranchant en fuite l'une de l'autre les deux fuites & les deux fommes,j'ai en général 1+2x+3x2 ••+p—1• x22 ; d'où l'on voit que la méthode peut

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être utilement employée à trouver la fomme d'un nombre indéfini de termes dans une fuite quelconque.

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Je paffe maintenant au cas plus compliqué, où il s'agiroit d'avoir la forme d'une fuite, dont la fomme feroit la valeur de y, qu'on peut tirer en général d'une équation algébrique entre x, y & z. Voici comment il faudroit s'y prendre pour avoir cette forme. On fuppofera d'abord l'équation ordonnée par rapport à x, & il faudra que chaque fuite en z, multipliant chaque puiffance de x, foit algébrique on aura donc la loi de cette fuite par ce qui précede; mais il faudra auffi que l'ordonnant par rapport à, la fuite en x, qui multipliera chaque puiffance de z, foit algébrique; donc on aura la loi de cette fuite. Mais les coefficiens de cette fuite font les coefficiens des mêmes puiffances de 7, pris fucceffivement dans chaque fuite en 7, qui multiplie les diverfes puiffances de x; donc on aura la loi des coefficiens, & par conféquent la loi de la fuite, pour qu'elle donne une fonction algébrique de x & z pour valeur de y. L'analogie indique fuffifamment ici ce qu'il y auroit à faire pour un plus grand nombre de variables.

Pour appliquer la théorie ci deffus à l'intégration, on supposera une fuite algébrique de transcendantes & de x, ces tranfcendantes étant des logarithmes exponentielles ou intercendantes de fuites algébriques; & comme le dégré où monte l'équation qu'on doit avoir entre chaque fuite & fa fomme eft déterminé, mais feulement par la plus haute puiflance de la fomme, on fuppofera que le coefficient de chaque puiffance de y en x, au lieu d'être déterminé eft indéfini, ou même la fomme d'une fuite récurrente. La forme de la fuite étant donnée dans cette

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