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pofe ce qu'elle doit être dans une supposition où ces suites soient plus compliquées, plus une nouvelle indéterminée, & ainsi de suite, jusqu'à ce que cette nouvelle indéterminée soit nulle en général, & alors le Problême sera résolu. Au reste, cette opération ne sera pas aussi longue qu'on le croiroit d'abord, parceque les suites qu'on substitue dans la proposée ne pouvant contenir dans leurs coefficiens plus de quantités indépendantes de la loi de la suite qu'on n'en trouve dans le coefficient de dx. Il est aisé de voir qu'on pourra dans cette méthode dresser des Tables qui contiendroient par ordre toutes les équations intégrales qui donnent y en x, avec les équa

tions disférentielles qui y répondent & les changemens qui y peuvent faire de nouvelles suppositions pour le nombre & l'élévation des suites récurrentes. Quoique cette méthode, traitée ainsi par les suites infinies, dont il ne seroit pas difficile de se passer , soit d'une grande commodité dans la pratique, & qu'elle conduise à une intégration absolue; sa plus grande utilité sera pourtant de servir aux approximations immédiatement & de la maniere la plus commode. Toute équation différentielle peut, par la préparation que j'ai indiquée ci-dessus, être, lorsqu'elle est possible , telle que y substituant pour y a + bx + cx + dxo . . - tous les coefficiens des puissances de x s'évanouissent; & cette suite étant rendue convergente , donnera une valeur de y, d'autant plus vraie, qu'on prendra plus de termes, avec cette différence cependant, que si on peut tirer de l'équation proposée une valeur dey en x en termes finis ; la différence qu'il

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valeur, pourra être supposée plus petite qu'aucune quantité donnée, & quc la somme de la suite sera cette vraie valeur ; au lieu que dans l'autre cas, on peut, à la vérité, parvenir à un terme, dans la suite, plus petit qu'aucune quantité donnée ; mais jamais on ne peut parvenir à la vraie valeur. C'est à peu-près la même chose que si

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dra à la fin à la vraie valeur # ; mais si n = #, quoique plus on prend de termes , plus on approche de la

, valeur de V# en nombres rationels , si elle en avoit une ; jamais cependant on ne peut parvenir à cette valeur, par

ce qu'elle n'en a point. La suite a + bx + cx*+ dxo . .. étant substituée dans l'équation différentielle en proposée, & étant rendue convergente, donne déja une méthode d'avoir y en x par approximation ; mais il s'en faut beaucoup que ce soit-là la borne de l'utilité des méthodes précédentes. De quelque maniere que y soit donné en x, dès qu'il est question d'approximations, il est clair que la valeur de x étant donnée, on aura, par les Tables de logarithmes,sinus, &c. , la valeur de y qui y répond. Je prendrai donc une forme générale qui convienne avec l'ordre d'une équation différentielle proposée. Je supposerai d'un nombre fini de termes les différentes suites algébriques qui entreront dans les valeurs de r, s, t, &c, en x ; x & r ; x , r, s ; &c. & aussi la suite algébrique qui donne y en x, r, s, * , &c. Je - substituerai

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Quant aux coefficiens, il faudra chercher une méthode convenable dans chaque cas particulier. Lorsqu'il est possible , comme dans le Problême des trois Corps, d'avoir par des Observations ou d'autres circonstances particulieres des valeurs particulieres de y pour des valeurs données de x ; on pourra s'en servir commodément pour avoir les coefficiens de la suite. Si même on vouloit se contenter de comparer les résultats de la Théorie avec ceux des Observations, on le pourroit faire en comparant les coefficiens trouvés dans la suite , par le moyen des Observations, avec ceux que donne la substitution de la suite dans l'équation différentielle. En effet, si ces coefficiens different peu, que la suite soit convergente ou non, il sera toujours vrai que les Observations & la Théorie s'accordent ensemble. On pourroit encore résoudre ces sortes de Problêmes par cette méthode seule, sans employer leurs équations différentielles lorsque les suites seront convergentes, & par conséquent indépendamment de toute hypothèse physique. Cette derniere méthode pourroit servir à calculer des Phénomenes dont les loix seroient inconnues, pourvu qu'on sache de quoi ces loix peuvent dépendre. Mais il est essentiel d'observer ici qu'il n'est vrai, que quelqu'équation qu'on ait entre y & x, on aura y= a + bx + cx* + dxo . . . .. que dans le cas où on a fait la substitution indiquée ci dessus ; qu'il faut donc qu'il y ait une constante indéterminée g; & qu'au lieu d'avoir la valeur de x par les Observations, on a seulement celle x+g; & qu'ainsi, lorsqu'on veut déterminer les coefficiens par les observations, il faut mettre pour x cette valeur moins l'indéterminée g. Pourvu qu'on ne donnc pas

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