nouvelle fuppofition, forme qu'on aura aifément par ce
qui précede; il ne restera plus d'indéfini que les dénomi-
nateurs & les numérateurs des fommes des fuites récur-
rentes, & le nombre des fonctions logarithmiques qui peu-
vent être ajoutées enfemble, fans que la propofée change
de forme: pour
: pour les déterminer pour chaque cas particulier,
on supposera d'abord qu'ils font déterminés au-deffous de
ce qu'ils doivent être, & on ajoutera feulement à la valeur
de chaque coefficient, ce qu'une fuppofition plus élevée
y changeroit ; on comparera enfuite, avec la propofée, ccs
fuites ainfi préparées, & la comparaison conduira enfin à
un point où il n'y aura plus rien à ajouter pour avoir la
valeur du coefficient, & tout fera déterminé. Voici un
exemple de cette méthode qui la fera mieux comprendre.
Soit le cas des fractions rationnelles

....

& qu'il faille trouver y. Je réduis en fuite le coefficient de
dx; je vois alors que la valeur de y en fuite, ne peut
être que
1. a+bx+cx2+ dx3..... +a'+b'x+c'x2+.....
la fuite a'+b'x + c'x2 étant une fuite récurrente, &
la fuite a + bx + c x2.... la fomme d'un nombre in-
défini de ces fuites, je compare la valeur de dy donnée
dans cette hypotèfe, avec la valeur donnée par la prépo-
fée, en fuppofant que les fuites a + bx + c x2 + dx3....
́a' + b'x + c2x2.... foient des fuites récurrentes fort
fimples; j'ajoute à chaque terme une quantité conftante,
fi elle ne devient pas en général égale à zero, je la fup-

pofe ce qu'elle doit être dans une fuppofition où ces fuites foient plus compliquécs, plus une nouvelle indéterminée, & ainfi de fuite, jufqu'à ce que cette nouvelle indéterminée foit nulle en général, & alors le Problême fera réfolu. Au reste, cette opération ne fera pas auffi longue qu'on le croiroit d'abord, parceque les fuites qu'on substitue dans la propofée ne pouvant contenir dans leurs coefficiens plus de quantités indépendantes de la loi de la fuite qu'on n'en trouve dans le coefficient de dx.

Il est aisé de voir qu'on pourra dans cette méthode dreffer des Tables qui contiendroient par ordre toutes les équations intégrales qui donnent y en x, avec les équations différentielles qui y répondent & les changemens qui y peuvent faire de nouvelles fuppofitions pour le nombre & l'élévation des fuites récurrentes.

Quoique cette méthode, traitée ainfi par les fuites infinies, dont il ne feroit pas difficile de se paffer, foit d'une grande commodité dans la pratique, & qu'elle conduise à une intégration abfolue; fa plus grande utilité fera pourtant de fervir aux approximations immédiatement & de la maniere la plus commode. Toute équation différentielle peut, par la préparation que j'ai indiquée ci-dessus, être, lorfqu'elle eft poffible, telle que y fubftituant pour y a + bx + cx2 + dx3・・・ tous les coefficiens des puiffances de x s'évanouiffent; & cette fuite étant rendue convergente, donnera une valeur de y, d'autant plus vraie, qu'on prendra plus de termes, avec cette différence cependant, que fi on peut tirer de l'équation propofée. une valeur de y en x en termes finis; la différence qu'il

y aura entre la valeur de y prife dans la fuite & fa vraie valeur, pourra être fuppofée plus petite qu'aucune quantité donnée, & que la fomme de la fuite fera cette vraie valeur ; au lieu que dans l'autre cas, on peut, à la vérité, parvenir à un terme, dans la fuite, plus petit qu'aucune quantité donnée; mais jamais on ne peut parvenir à la vraie valeur. C'est à-peu-près la même chose que fi l'on proposoit d'avoir V1—nen nombres rationels. L'expreffion étant développée en fuite, fin, on parviendra à la fin à la vraie valeur ; mais fi n = , quoique plus on prend de termes, plus on approche de la valeur de Ven nombres rationels, fi elle en avoit une ; jamais cependant on ne peut parvenir à cette valeur, parce qu'elle n'en a point.

La fuite a + bx + cx2 + dx3 étant fubftituée dans l'équation différentielle en propofée, & étant rendue convergente, donne déja une méthode d'avoir y en x par approximation; mais il s'en faut beaucoup que ce foit-là la borne de l'utilité des méthodes précédentes. De quelque maniere que y foit donné en x, dès qu'il eft queftion d'approximations, il eft clair que la valeur de x étant donnée, on aura, par les Tables de logarithmes, finus, &c.; la valeur de y qui y répond. Je prendrai donc une forme générale qui convienne avec l'ordre d'une équation différentielle propofée. Je fuppoferai d'un nombre fini de termes les différentes fuites algébriques qui entreront dans les valeurs de r, s, t, &c, en x; x &r; x, r, s; &c. & auffi la fuite algébrique qui donne y en x, r, s, t, &c. Je fubftituerai

fubftituerai dans la propofée la fuite ainfi terminée; j'en déterminerai les coefficiens; & ajoutant à cette valeur, ainfi trouvée, ce qu'il faut y ajouter, pour qu'étant réduite en fuite, elle donne la fuite a + bx + cx2 + dx3 .......` que j'ai dit ci dessus être la valeur de y, j'aurai une nouvelle valeur de y: fuppofant un terme de plus dans les 7, s, t, &c. & dans l'équation finie entre y & x, r, s, t.&c. j'aurai encore une nouvelle valeur de y; & fi ces valeurs font de la forme que doit avoir la vraie valeur de y, & que la fuite a + bx + cx2 + dx3.... foit convergente, on aura par cette méthode des valeurs très approchées, en ne prenant qu'un petit nombre de termes dans la fuite qui refte dans chaque valeur.

Quant à la maniere de faire en forte que la fuite foit convergente, il faut remarquer que cette convergence vient ou de la petiteffe de x ou de celle des coefficiens: il faudra donc pour ce qui regarde x, faire en forte, par des fubftitutions convenables que x foit telle (fi la nature du Problême le permet), ce qui arrivera, foit qu'on puiffe avoir une variable x toujours plus petite qu'une quantité conftante donnée, qu'on a fuppofée égale à l'unité, & qui rend homogene la fuite en x, foit qu'on puiffe fuppofer cette quantité conftante fi grande qu'on voudra, en forte qu'on puiffe regarder x comme très petite vis-à-vis d'elle: fi cela étoit impoffible, parceque x ne pourroit jamais être qu'une quantité fufceptible d'avoir toutes les valeurs poffibles; alors on pourroit rendre la fuite convergente, tant que x fera très petite; faire enfuite une autre fuppofition pour avoir très petite lorfque x fera

そ

grande; une autre pour le cas où x fera à-peu-près égale au parametre, & l'on parviendra ainfi au but qu'on fe propofe.

H

de

Quant aux coefficiens, il faudra chercher une méthode convenable dans chaque cas particulier. Lorsqu'il eft poffible, comme dans le Problême des trois Corps, d'avoir par des Obfervations ou d'autres circonftances particulieres des valeurs particulieres de y pour des valeurs données x; on pourra s'en fervir commodément pour avoir les coefficiens de la fuite. Si même on vouloit fe contenter de comparer les résultats de la Théorie avec ceux des Ob fervations, on le pourroit faire en comparant les coefficiens trouvés dans la fuite, par le moyen des Obfervations, avec ceux que donne la fubftitution de la fuite dans l'équation différentielle. En effet, fi ces coefficiens different peu, que la fuite foit convergente ou non, il sera toujours vrai que les Obfervations & la Théorie s'accordent enfemble. On pourroit encore réfoudre ces fortes de Problêmes par cette méthode feule, fans employer leurs équations différentielles lorfque les fuites feront convergentes, & par conféquent indépendamment de toute hypothèse physique. Cette derniere méthode pourroit fervir à calculer des Phénomenes dont les loix feroient inconnues, pourvu qu'on fache de quoi ces loix peuvent dépendre. Mais il eft effentiel d'obferver ici qu'il n'eft vrai, que quelqu'équation qu'on ait entre y & x, on aura y=a+bx + cx2+ dx3 que dans le cas où on a fait la fubstitution indiquée ci-deffus; qu'il faut donc qu'il y ait une constante indéterminée g; & qu'au lieu d'avoir la valeur de x par les Obfervations, on a feulement celle x+g; & qu'ainfi, lorsqu'on veut déterminer les coefficiens par les obfervations, il faut mettre pour x cette valeur moins l'indéterminée g. Pourvu qu'on ne donne pas