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&c. égaux aux valeurs de x données par un nombre n d'observations, les y, y', y", y", &c. égaux aux valeurs de x* données de mêmes, & ainsi de suite; les II, n', II", n", &c. égaux aux valeurs de x", & enfin les A, A', A", A", &c. égaux aux valeurs correspondantes de y, que donnent les mêmes observations.

Je n'en dirai pas davantage, mon but étant de donner des principes généraux, sans entrer dans des détails qui faciliteroient auxautres des routes que je n'ai Point le courage de suivre.

T , , , s sont les vues que je propose aux Géometres sur un Problême dont la solution étoit si importante pour le systême du monde, & qui a si bien confirmé ce que Nevton avoit déduit du mouvement des Planettes principales.

Mes équations dans les deux premiers Mémoires, sont les mêmes que celles que le principe de la moindre action donne à M. de la Grange ; & quoique tirées d'un principe différent, je les ai par la même Méthode. Cette façon de supposer que la même changeante varie de plusieurs manieres à la fois, est la clef d'une infinité de Problêmes ; & lorsqu'elle sera mieux connue, on en sentira encore mieux tous les avantages. Mon but n'a point été de résoudre le Problême dont j'ai parlé, mais d'indiquer la voie qu'on pourroit suivre pour le résoudre généralement, directement & exactement. Le Problême des trois Corps a été résolu par trois célebres Géometres. lls ont cherché à en tirer une Théorie plus exacte de la Lune & des Cometes, qui pût servir à perfectionner l'Astronomie & la Navigation, & à confirmer les idées de Newton sur le systême du monde. Ils se sont servis pour cela des Méthodes d'Approximation , les seules qui conviennent à ces sortes de questions, sitôt qu'il s'agit de faire quelqu'application de la Théorie. Je suppose en effet que les équations du Problême soient intégrées exactement. S'il s'y trouve quel. que fonction transcendante, ou même qu'en prenant la valeur du temps en l'une des coordonnées, ou celle d'une des coordonnée en une autre, on ait à résoudre une équa

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tion des second, troisieme, quatrieme..... dégrés; on aura dcs radicaux ou des fonctions transcendantes dans les formules du Problême. Il faudra donc y faire entrer des suites infinies & avoir encore recours aux Méthodes d'Approximation. Qu'on se serve donc de ces Méthodes avant d'intégrer, ou qu'on ne les applique aux équations qu'après l'intégration ; je n'y vois aucune différence : mais il y a des conditions nécessaires pour toute Méthode d'Approximation , qu'il n'est pas toujours aisé de remplir, lorsqu'on les applique aux équations différentielles. 1°. Il faut que la suite donnée dans la Méthode d'Approximation , car dans toute Méthode d'Approximation il cntre nécessairement une suite infinie; il faut, dis-je, que cette suite se puisse continuer à l'infini, sans pouvoir s'arrêter à aucun terme & y changer, soit de forme, soit de nature; & quc plus on prend de termes ou un terme plus éloigné du premier, la somme de la suite ou bien de ce terme plus éloigné , differe moins ; & il faut non - seulement que cela soit , mais encore que cela soit bicn prouvé à priori. 2 °. L'identité, soit de la somme de la suite cntiere, soit de son dernier terme avec la vraie valeur, ou une valeur sensiblement égale à la vraie, doit être rigoureusement démontrée; & si les coefficiens dans les suitesse déterminent par la Méthode des indéterminées , il faut avoir démontré à priori que la forme qu'on lui suppose est celle qu'elle doit avoir. La Méthode de M. d'Alembert remplit exactement tOUt cc que je viens de dire : ainsi tout ce u'on pourroit faire ne conduiroit au but, n plus directement, •- - . - - # # ! 2 ni plus exactement : en effet, si on desire plus d'exactitude, il n'y a qu'à continuer plus loin ses formules , & y faire entrer l'altération du mouvement que l'Auteur de la piece couronnée en 1762, a appris à calculer. Ce travail doit particulierement regarder les Astronômes : il exige, à la vérité beaucoup de connoissances de calcul, & peut-être plus qu'on n'en peut acquérir ordinairement, sans négliger les autres parties de l'Astronomie. Mais il n'en est pas moins vrai que ce que le Géometre peut faire maintenant sur ce sujet comme Géometre, n'est plus que de pure curiosité. J'ai cru ce détail nécessaire pour qu'on ne fût pas étonné des bornes où je me suis renfermé sur le Problême des trois Corps. Quant aux travaux nécessaires pour les Problêmes plus compliqués, j'avoue franchement que je les crois au-dessus de mes forces , & sur tout de mon coura·ge : bien que, dans les divers morceaux que la nécessité de défendre sa solution a fait publier à M. d'Alembert, on trouve sur les Méthodes d'Approximation , & sur tout sur la maniere de s'assurer de leur bonté indépendamment des résultats, nombre de choses qui seroient de la plus grande · utilité, & qu'une sagacité singuliere pouvoit seule deviner & employer. ' - · Le peu que j'ai dit au commencement du troisieme moire , est suffisant pour faire sentir aux Géometres de · quelle Méthode ils pourroient se servir pour résoudre un Problême célebre dans la solution duquel on n'avoit, de, puis Descartes, fait que peu de progrès. La Méthode que , je propose est générale pour un dégré quelconque, & je l'ai mise au point de ne laisser plus pour déterminer la forme des racines d'une équation donnée, d'autres difficultés

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