gune valeur particuliere, on peut la fuppofer incompa-` rablement plus grande ou plus petite qu'aucune autre quantité, ce qui peut quelquefois fervir avantageusement à rendre la fuite convergente.

On fent qu'il feroit très avantageux d'avoir pour déterminer les coefficicns par le moyen des Obfervations, une formule indéfinie pour un nombre indéfini de coefficiens & d'obfervations. Ce Problême se réduit à trouver la valeur d'une inconnue donnée par un nombre indéfini n d'équation entre un nombre indéfini n d'inconnues; je tire cette méthode du Mémoire que j'ai déja cité ici. Soient a, b, c, d, e p ces inconnues, & qu'on ait a a + B b + 2 c + d d + ε e น c+dd ɛe. a a + B' b + y2 c + d' d + é e.. a" a + B" b + 2 +2"c+&"d+ "e a"a + ß"b + 2' "c+♪"d+&"e

• ....

દ

B'

B"

a

+П
+ пр
+

A

p=A

A"

=

A""

A' A"

a

d"

6"

a

& ainfi de fuite, où en général on peut fuppofer a, a', a

In a

&c. égaux à l'unité. On aura donc p donné par une fraction, dont le Numérateur & le Dénominateur ne différeront qu'en ce que l'un fera compofé de A, A', A", A", &c., de la même maniere que l'autre le fera de П, I', n", 1′′, &c., & on formera cette valeur de p fucceffivement de la maniere qu'on voit figurée ici, d'où l'on voit que le nom

bre des

β

Α'

ou

A A

--

B-6, lorfque a, a', a", &c. feront

égaux à l'unité, fera 4", & qu'ils feront toujours diftribués quatre à quatre d'une maniere semblable.

Dans le cas dont il eft particulierement queftion ici, on a les a, a, a", a", &c. égaux à l'unité, les B, B′, B′′, B'"', &c. égaux aux valeurs de x données par un nombre n d'obfervations, lesy, 7', 7", 2", &c. égaux aux valeurs de x2 données de mêmes, & ainsi de fuite; les П, п', п′′, n′′, &c. égaux aux valeurs de x", & enfin les A, A′, A", A", &c. égaux aux valeurs correfpondantes de y, que donnent les mêmes obfervations.

Je n'en dirai pas davantage, mon but étant de donner des principes généraux, fans entrer dans des détails qui faciliteroient aux autres des routes que je n'ai point le courage de fuivre.

TELLE ELLES font les vues que je propofe aux Géometres. fur un Problême dont la folution étoit fi importante pour le fyftême du monde, & qui a fi bien confirmé ce que Newton avoit déduit du mouvement des Planettes principales.

Mes équations dans les deux premiers Mémoires, font les mêmes que celles que le principe de la moindre action donne à M. de la Grange; & quoique tirées d'un principe différent, je les ai par la même Méthode. Cette façon de fuppofer que la même changeante varie de plufieurs manieres à la fois, est la clef d'une infinité de Problêmes; & lorfqu'elle fera mieux connue, on en fentira encore mieux tous les avantages. Mon but n'a point été de réfoudre le Problême dont j'ai parlé, mais d'indiquer la voie qu'on pourroit fuivre pour le réfoudre généralement, directement & exactement. Le Problême des trois Corps a été réfolu trois célebres Géometres. Ils ont cherché à en par tirer une Théorie plus exacte de la Lune & des Cometes, qui pût fervir à perfectionner l'Aftronomie & la Navigation, & à confirmer les idées de Newton fur le fyftême du monde. Ils fe font fervis pour cela des Méthodes d'Approximation, les feules qui conviennent à ces fortes de queftions, fitôt qu'il s'agit de faire quelqu'application de la Théorie. Je fuppofe en effet que les équations du Problême foient intégrées exactement. S'il s'y trouve quel. que fonction transcendante, ou même qu'en prenant la valeur du temps en l'une des coordonnées, ou celle d'une des coordonnée en une autre, on ait à réfoudre une équa

que

tion des fecond, troifieme, quatrieme..... dégrés; on aura des radicaux ou des fonctions tranfcendantes dans les formules du Problême. Il faudra donc y faire entrer des fuites infinies & avoir encore recours aux Méthodes d'Approximation. Qu'on fe ferve donc de ces Méthodes avant d'intégrer, ou qu'on ne les applique aux équations qu'après l'intégration; je n'y vois aucune différence: mais il y a des conditions néceffaires pour toute Méthode d'Approximation, qu'il n'eft pas toujours aifé de remplir, lorfqu'on les applique aux équations différentielles. 1°. Il faut fuite donnée dans la Méthode d'Approximation, car la dans toute Méthode d'Approximation il entre néceffairement une fuite infinie; il faut, dis-je, que cette fuite se puiffe continuer à l'infini, fans pouvoir s'arrêter à aucun terme & y changer, foit de forme, foit de nature; & que plus on prend de termes ou un terme plus éloigné du mier, la fomme de la fuite ou bien de ce terme plus éloigné, differe moins; & il faut non - feulement cela foit, mais encore que cela foit bien prouvé à priori. 2°. L'identité, foit de la fomme de la fuite entiere, foit de fon dernier terme avec la vraie valeur, ou une valeur fenfiblement égale à la vraic, doit être rigoureufement démontrée; & fi les coefficiens dans les fuites fe déterminent par la Méthode des indéterminées, il faut avoir démontré à priori que la forme qu'on lui fuppofe eft celle qu'elle doit avoir. La Méthode de M. d'Alembert remplit exactement tout ce que je viens de dire: ainfi tout ce qu'on pourroit faire ne conduiroit au but, ni plus directement, ni plus exactement: en effet, fi on defire plus d'exacti tude, il n'y a qu'à continuer plus loin fes formules, & y

pre

que

faire entrer l'altération du mouvement que l'Auteur de la piece couronnée en 1762, a appris à calculer. Ce travail doit particulierement regarder les Aftronômes: il exige, à la vérité beaucoup de connoiffances de calcul, & peut-être plus qu'on n'en peut acquérir ordinairement, fans négliger les autres parties de l'Aftronomie. Mais il n'en eft pas moins vrai que ce que le Géometre peut faire maintenant fur ce fujet comme Géometre, n'eft plus que de pure

curiofité.

J'ai cru ce détail néceffaire pour qu'on ne fût pas étonné des bornes où je me fuis renfermé fur le Problême des trois Corps. Quant aux travaux néceffaires pour les Problêmes plus compliqués, j'avoue franchement que je les crois au-deffus de mes forces, & fur tout de mon courage: bien que, dans les divers morceaux que la néceffité de défendre fa folution a fait publier à M. d'Alembert, on trouve fur les Méthodes d'Approximation, & fur tout sur la maniere de s'affurer de leur bonté indépendamment des résultats, nombre de chofes qui feroient de la plus grande utilité, & qu'une fagacité finguliere pouvoit feule deviner & employer. '

Le peu que j'ai dit au commencement du troifieme Mémoire, eft fuffifant pour faire fentir aux Géometres de quelle Méthode ils pourroient fe fervir pour réfoudre un Problême célebre dans la folution duquel on n'avoit, depuis Descartes, fait que peu de progrès. La Méthode que je propose eft générale pour un dégré quelconque, & je l'ai mise au point de ne laiffer plus pour déterminer la forme des racines d'une équation donnée, d'autres difficultés à réfoudre que celles qui naîtront néceffairement de la

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