complication & de la longueur des calculs. M. Euler a fait fur cette matiere quelques réflexions femblables, qu'il propofe comme des conjectures: un peu de méditation fuffit pour s'affurer s'affurer que les miennes font une fuite néceffaire de la nature des équations. Il n'y a rien de commun entre l'Ouvrage de M. Fontaine fur cette matiere, & mes courtes réflexions. Ce grand Géometre détermine la forme des racines d'une équation en cherchant par comparaison entre toutes les formes poffibles, celles qui peuvent convenir à une équation propofée. Il confidere les racines comme réelles ou imaginaires, pofitives ou négatives, compofées de quantités égales ou inégales, plus grandes ou plus petites les unes par rapport aux autres; mais cela ne conduit pas immédiatement à en avoir la valeur. Comme ce travail eft très intéreffant, je crois que les Géometres me pardonneront d'inférer ici quelques réflexions qui tendent à démontrer & à développer l'efprit de la Méthode, que fon célebre Auteur n'a fait qu'expofer. Je fuppofe qu'on ait devant les yeux l'Ouvrage de M. Fontaine, qui fe trouve dans le Recueil de fes Œuvres, & dans les Mémoires de l'Académie pour l'année 1747; & je dis, 1°. Que fi j'ai une équation du dégré f, dont les racines foient mifes fous les formes que leur donne M. Fontaine, & que ces racines ne contiennent qu'un nombre g, inférieur à ƒ de quantités a, b, ć.....', j'aurai pour ce cas un nombre fig de fonctions de m, n, p.............. égales à zéro. En effet, par la comparaifon de la propofée avec le produit de fes racines, j'aurai un nombre ƒ d'équations pour un nombre g d'indéterminées. Ces fonctions qu'on trouvera différentes pour chaque fuppofition différentes de facteurs se

trouveront

nus,

trouveront fous une forme rationelle par les procédés con. & les égalant à zéro, on aura des conditions. pour chaque fyftême de facteurs; car les équations de chaque fyftême prifes toutes enfemble, auront toujours lieu dans chaque systême, & ne pourront avoir lieu dans aucun autre. 2°. Que fi j'ai un fyftême de facteurs qui contienne un certain nombre de a, b, c... j'aurai plus grande ou plus petite que zéro, une fonction qui deviendra égale à zéro; lorfque faisant, par exemple, bc ou c=0, ce fyftême de facteurs deviendra un de ceux dont je parle dans l'article ci-deffus. Il y aura autant de ces fonctions, qu'il y aura de fuppofitions poffibles pour ramener le fyltême de facteurs donné à un autre systême qui contienne une de moins des quantités a, b C ... & ces fonctions feront telles qu'en les fuppofant nulles, & y faifant les fuppofitions qui les rendent telles, elles donnent les équations qu'on auroit trouvées par l'article précédent. 3°. Que fi pour un cas particulier d'un fyftême de facteurs, une de ces fonctions eft plus grande ou plus petite que zéro:elle fera du même figne dans tous les autres cas du même fystême. En effet, fi cette fonction eft telle que, faifant bc ou co, elle devienne zéro; elle fera A. b-cou Ach. Or, une telle fonction sera toujours du même figne, puifqu'on a b >c, c▷o, & que A ne peut changer de figne. En effet, fi A pouvoit changer de figne, il pourroit devenir zéro ; donc la fonction propofée égalée à zéro ne feroit plus une condition du fyftême de facteurs où elle a lieu, ce qui eft contre l'hypothèse. 4°. Qu'il faut diftinguer trois cas où ces fortes de fonctions peuvent fervir de con

h

I

ditions pour diftinguer différens systêmes de facteurs. D'abord deux fyftêmes de facteurs peuvent être rappellés à un même systême, en faifant b=c. La fonction qui, après cette fuppofition fera égale à zéro, fera dans un cas

h

h

A.b-c, & dans l'autre A. c-b cb; cela eft évident par la forme des facteurs de chaque fyftême, & h doit être un nombre impair; fans quoi un fyftême feroit l'autre, ce qui eft contre l'hypothèfe; donc, la même fonction fera pour un fyftême de facteurs >o &<o pour l'autre. Dans le fecond cas, deux fyftêmes de facteurs fe peuvent rappeller à un même fyftême, en faisant dans l'un b=c, & dans l'autre co: ce cas a lieu pour la comparaison de deux fyftêmes, dont l'un contient plus d'imaginaires que l'autres. Il faut donc que la fonction qui eft pour l'un

h

A.b-c devienne pour l'autre nulle, lorfque c=0; mais l'un des fyftêmes de facteurs devient l'autre, en y mettant b-c pour c√1; donc A. b

C

I

h

V

h

b—c doit de

venir A.c√; donc h doit être pair, puisque A est réel; donc la fonction qui fera < o pour un systême, sera <o pour le systême correfpondant. Dans le troifieme cas, une même fuppofition rappelle deux systêmes de facteurs à deux différens, mais dans lefquels une même fonction est égale à zéro; & alors, ou elle est de figne différent dans les deux premiers fyftêmes, ou elle eft de même figne, & les fonctions qui font o ou o dans le cas où elles deviennent nulles, ne changent pas alors de figne : ce cas se démontrerà comme les précédents.

Il n'y a point de fyftême de facteurs pour un dégré quelconque, dont on ne puiffe trouver les conditions caractéristiques par cette méthode; & il ne fera question que d'avoir pour un dégré quelconque, les conditions générales pour chaque fyftême où il n'entre qu'une quantité a car quelques foient le nombres des a, b, b, c...... dans un fyftême propofé, on tirera ces conditions de celles des fyftêmes où ce nombre fera moindre d'une unité, & ainfi de fuite, jufqu'à celles des fyftêmes où il n'y a qu'une quantité a.

Lorfque le nombre des a, b, c..... eft plus petit que l'expofant du dégré de l'équation : alors, fi les a, b, c.... font eux-mêmes les racines d'une autre équation d'un dégré inférieur, comme cela arrive néceffairement lorfqu'il n'y en a que deux, on réfolvera la propofée en réfolvant cette nouvelle équation d'un dégré inférieur; & dans tout autre cas, on pourra parvenir à une équation de même dégré, mais dont les coefficiens feront les racines d'une équation d'un dégré, dont l'expofant foit égal au nombre de fois que les a, b, c... ... font répétés dans

ÉCLAIRCISSEMENT

Sur le Calcul Intégral.

UN grand Géometre que je cite ici, non pour lui faire

honneur, mais pour m'honorer moi-même, en apprenant au Public qu'il daigne s'occuper de mes Ouvrages & me favorifer même de fes confeils; M. de la Grange m'a fait obferver qu'il y a des équations différentielles, dont les intégrales ne fe trouvent point dans les Tables que j'ai données pour ces équations, dans la feconde Section de la premiere Partie de mon Ouvrage; d'où il fuit que ces Tables que je donne pour générales, font au moins fujettes à une infinité d'exceptions. L'importance de la matiere exige de moi qu'en convenant franchement de mon tort, je cherche à le réparer. Je me propose de le faire ici; & pour cela, je vais expliquer la nature de ces exceptions qui détruifent la généralité de mes Tables, & les moyens d'y remédier; j'y joindrai quelques Réflexions importantes fur cette matiere qui m'étoient échappées : je donnerai enfin une méthode d'intégrer qui ne fuppofera point la construction des Tables. Il me femble qu'il sera aisé de conclure de ce que je vais dire, que la défectuosité de mes Tables eft un défaut de la méthode; défaut qui eft une fuite de la nature même du Calcul, en forte qu'il n'y ait aucune méthode générale poffible de Calcul Intégral qui ne foit fujette à des inconvéniens femblables, ou à de plus grands encore; que la maniere d'y fuppléer que je propose ici est