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complication & de la longueur des calculs. M. Euler a fait

sur cette matiere quelques réflexions semblables, qu'il

propose comme des conjectures : un peu de méditation

suffit pour s'assurer que les miennes sont une suite néces

saire de la nature des équations. Il n'y a rien de commun

entre l'Ouvrage de M. Fontaine sur cette matiere , & mes

courtes réfiexions. Ce grand Géometre détermine la forme

des racines d'une équation en cherchant par comparaison

entre toutes les formes possibles, celles qui peuvent con

venir à une équation proposée. Il considere les racines

comme réelles ou imaginaires , positives ou négatives,

composées de quantités égales ou inégales, plus grandes

ou plus petites les unes par rapport aux autres; mais cela

ne conduit pas immédiatemcnt à en avoir la valeur.Comme ce travail est très intéressant, je crois que les Géometrcs

me pardonneront d'insérer ici quelques réflexions qui tendent à démontrer & à développer l'esprit de la Méthode , que son célebre Auteur n'a fait qu'exposer.Je suppose qu'on

ait devant les yeux l'Ouvrage de M. Fontaine, qui se trou·ve dans le Recueil de ses OEuvres, & dans les Mémoires de l'Académie pour l'année 1747 ; & je dis, 1°. Que si j'ai une équation du dégré f, dont les racines soient mises sous les formes que leur donne M. Fontaine, & que ces racines

ne contienncnt qu'un nombre g, inférieur à f de quantités a, b, c ..... , j'aurai pour ce cas un nombre f-g de fonctions de m, n, p ...... égales à zéro. En effet,

par la comparaison de la proposée avec le produit de ses racines, j'aurai un nombre f d'équations pour un nom

bre g d'indéterminées. Ces fonctions qu'on trouvera dif·férentes pour chaque supposition différentes de facteurs se -- trOllVerOnt

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l'autres. .. Il faut donc que la fonction qui est pour l'un h-

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quelconque, dont on ne puisse trouver les conditions caractéristiques par cette méthode; & il ne sera question que d'avoir pour un dégré quelconque, les conditions générales pour chaque systême où il n'entre qu'une quantité a : car quelques soient le nombres des a, b, c. ..... dans un systême proposé, on tirera ces conditions de celles des systêmes où ce nombre sera moindre d'une unité, & ainsi de suite, jusqu'à celles des systêmes où il n'y a qu'une quantité a. -

Lorsque le nombre des a, b, c ..... est plus petit que l'exposant du dégré de l'équation : alors, si les a, b, c .... sont eux-mêmes les racines d'une autre équation d'un dégré inférieur, comme cela arrive nécessairement lorsqu'il n'y en a que deux, on résolvera la proposée en résolvant cette nouvelle équation d'un dégré inférieur; & dans tout autre cas, on pourra parvenir à une équation de même dégré, mais dont les coefficiens seront les racines d'une équation d'un dégré, dont l'exposant soit égal au nombre de fois que les a, é, c ..... sont répétés dans les racines.

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É C L A I R C I S S E M E N T
Sur le Calcul Intégral.

UN grand Géometre que je cite ici, non pour lui faire honneur, mais pour m'honorer moi-même, en apprenant au Public qu'il daigne s'occuper de mes Ouvrages & me favoriser même de ses conseils ; M. de la Grange m'a fait observer qu'il y a des équations différentielles, dont les intégrales ne se trouvent point dans les Tables que j'ai données pour ces équations, dans la seconde Section de la premiere Partie de mon Ouvrage ; d'où il suit que ces Tables que je donne pour générales, sont au moins sujettes à une infinité d'exceptions. L'importance de la matiere exige de moi qu'en convenant franchement de mon tort, je cherche à le réparer. Je me propose de le faire ici; & pour cela, je vais expliquer la nature de ces exceptions qui détruisent la généralité de mes Tables, & les moyens d'y remédier; j'y joindrai quelques Réflexions importantes sur cette matiere qui m'étoient échappées : je donnerai enfin une méthode d'intégrer qui ne supposera point la construction des Tables. Il me semble qu'il sera aisé de conclure de ce que je vais dire, que la défectuosité de mes Tables est un défaut de la méthode; défaut qui est une suite de la nature même du Calcul, en sorte qu'il n'y ait aucune méthode générale possible de Calcul Intégral qui ne soit sujette à des inconvéniens semblables, ou à de plus grands

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