auffi fimple qu'elle peut l'être par les mêmes raisons. Je crois que ceux qui auront lu avec attention toute la premiere Partie de mon Ouvrage & ce que j'y vais ajouter ici, ne trouveront pas cette affertion téméraire, & me difpenferont d'entrer dans le détail des motifs qui m'engagent à penser ainfi.

Les Tables que je donne dans l'Article troisieme, p. 53, contiennent par ordre les différentes formes d'intégrales qui, étant différentiées, produifent les équations différentielles d'une forme donnée: telle eft le principe fur lequel je les ai conftruites, & elles font générales dans ce fens. Mais fi je donne des valeurs particulieres aux coefficiens de ces formules que j'ai fuppofés généraux, les différen tielles qui en résultent peuvent peut-être s'abaiffer, fans que les intégrales changent de forme; & cela arrivera, foit que les coefficiens des termes les plus élevés de ces différentielles s'évanouiffent, foit que ces différentielles aient des facteurs. Alors les différentielles d'un dégré donné pourroient avoir pour intégrales ou les intégrales générales pour ce dégré, ou des cas particuliers d'intégrales fupérieures où l'abbaiffement ait lieu. Il faut donc pour avoir. les intégrales de cette derniere claffe d'équations, former. une Table qui contienne tous ces cas particuliers. Voilà où je m'étois arrêté, & ce dont les obfervations de M. de la Grange m'ont fait sentir la néceffité.

Quelque particuliere que foit une forme d'intégrale, elle eft toujours telle, excepté pour le cas de ax+by+cp=0, que dans l'équation différentielle qui y répond, il puiffe y avoir cinq coefficiens indéterminés, parcequ'on n'y chan

ge en aucune façon la forme de l'intégrale ni de la diffé rentielle, en faisant x = Az+ Bu+ Cp,&y=A'z+B'u +C'p; mais il s'en faut de beaucoup qu'aucune des formes d'intégrales que donnent mes Tables, laiffent indéter minés tous les coefficiens de la différentielle qui y répond. Cependant, l'équation différentielle où ils font fuppofés quelconques, a une intégrale, comme je l'ai démontré dans la premiere Partie, Section premiere. Cette intégrale eft donc pour chaque dégré une des formules générales des dégrés fupérieurs. Il faut que cette forme contienne au moins autant de coefficients indéterminés, qu'il y en a dans l'équation différentielle; il faut encore qu'elle foit telle que le cas particulier où l'abaiffement a lieu, ne le rappelle pas à une forme d'un dégré inférieur, cela seroit contre l'hypothèfe, & que les conditions de cet abaiffement laiffent un nombre de coefficiens indéterminés, égal à celui des coefficiens de la différentielle. La Table des cas où cet abaiffement a lieu, donnera les intégrales qui fatisfont à ces conditions pour chaque dégré ; & ces intégrales ne feront pas fort élevées, par rapport aux dégrés auxquels elles appartiendront; parceque plus on les fuppofera élevées, plus le nombre des équations entre les coefficiens, furpaffera celui des coefficiens qu'on a à déterminer, en fuppofant que ceux de la différentielle font quelconques. Cette forme générale étant trouvée, il y aura des cas particuliers qui lui échapperont; les uns appartiendront à des formes moins compliquées, on les aura par ce que j'ai dit ; d'autres appartiendront à des formes plus compliquées, j'en parlerai ci-dessous; d'autres enfin

n'appartiendront à aucune forme, & ce font ceux où la différentielle auroit un facteur; car dans ce cas, fi ce facteur n'eft pas un de ceux par lefquels on peut avoir befoin de multiplier l'équation différentielle, pour qu'elle foit la différentielle exacte de fon intégrale, il n'y a aucune équation intégrale qui puiffe produire l'équation différentielle, mife fous cette forme. Il eft donc indifpenfable, avant que de chercher à intégrer par le moyen des Tables, de s'affurer par les méthodes ordinaires, que la propofée n'a point de facteurs, & de l'en débarraffer fi elle en a.

Ce que je viens de dire des équations à deux variables, est également vrai pour un nombre quelconque de variables, en obfervant que le nombre des coefficiens qui refteront toujouts indéterminés, fera pour un nombre n de variables, n. n + 1 −1 ; & qu'au lieu d'une équation différentielle où tous fes coefficiens foient indéterminés, on aura à traiter une équation où ils ne feront liés entr'eux que par les conditions néceflaires pour que ces équations foient poffibles.

J'ai déja dit que l'abaissement des équations différentielles avoit lieu de deux manieres. La premiere, lorsque les coefficiens des puiffances des variables fe trouvent nuls dans un ou plufieurs des rangs fupérieurs de l'équation différentielle. Soit, par exemple,

vy2+epy+vp2 • dx+Пx2+'px + yp2 • dy =0. L'intégrale de cette équation eft par les méthodes ordinaires 1 + 1y+a+N=0,a& b étant les

x+a

Π

x+b b'—a'

y+b"

racines de l'équation n'x2 + 'px + v p2 = 0 ; & d′ & b°

les racines de l'équation vy2+ ¿py vp2 = o. Cet exemple m'a été propofé par M. de la Grange. Mainte nant, je dis que cette équation intégrale appartient aux 'formes pour le troifieme dégré; en effet, fi on différentie une intégrale femblable, en donnant une forme générale aux fonctions qui y entrent, on aura une différentielle de ce dégré mais qu'ici elle eft du fecond, parceque ces fonctions font telles que les coefficiens de tous les termes qui monteroient au troifieme dégré font égaux à zéro ; la même chofe aura lieu pour-tout autre exemple. Mais comment cela arrive-t-il? c'eft que plufieurs des fonctions qui entrent dans les formes d'intégrales, ont égaux, entr'eux, les coefficiens des rangs fupérieurs des puiffances de x & y qui y entrent, ce qui fait que les termes fupérieurs qu'ils auroient produits dans l'équation différentielle, peuvent difparoître tous entiers. Pour former donc une Table de tous ces cas, je fuppoferai dans chacune des formules, des Tables conftruites, comme je l'ai indiqué ci-deffus, que les coefficiens de plufieurs rangs fupérieurs font égaux chacun à chacun dans deux ou plufieurs des fonctions qui y entrent, & cela, felon toutes les combinaisons poffibles; je remarquerai celles de ces fuppofitions qui peuvent faire évanouir un ou plufieurs rangs fupérieurs dans les différentielles, fans que les intégrales changentde forme;

les ordonnerai enfuite, comme j'ai ordonné les formules de mes Tables. Cet abaiffement ne va pas à l'infini, en ne fuppofant même dans une intégrale que deux fonctions effentiellement différentes; en forte que toutes les autres

ne

ne different de l'une ou de l'autre que par le dernier terme, ce qui eft la fuppofition la plus fimple, on verra naître des différentielles de tous les dégrés. J'ajouterai ces Tables, ainfi conftruites, à celles que j'avois déja, & j'aurai de nouvelles Tables qui contiendront pour chaque dégré d'équations différentielles, tant les formes générales qui y répondent, que les formes qui réfultent des cas particuliers où d'autres formes plus élevées s'abaissent à ce dégré l'évanouissement de leurs rangs fupérieurs. par

La feconde efpece d'abaiffement a lieu, lorfque dans un cas particulier une forme générale eft telle, que l'équation différentielle qui y répond, puiffe avoir un facteur d'un ou plufieurs dégrés. Soit, par exemple, l'équation xy2-x-2ny • dx+xdy=。

Son intégrale est en général

12a — 1 • x + zb · a • x2 + 4 c — b • x3 + &c.

3

− 1 + x + a x2 + bx3 + &c. y —

11−x+ax2—b x2+y— 2 a—1 •x+3b—a • x2

— 4 c − b • x3 + &c.— 2x + N=0,

-

ainfi de fuite. Cette intégrale eft finie toutes les fois que n eft un nombre entier pofitif; donc dans tous ces cas, cette intégrale eft fous cette forme intégrale de l'équation propofée. Plus n eft grand, plus ces formes deviennent élevées; & n pouvant être supposé auffi grand que

K

l'on