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aussi simple qu'elle peut l'être par les mêmes raisons.Je crois que ceux qui auront lu avec attention toute la premiere Partie de mon Ouvrage & ce que j'y vais ajouter ici, ne trouveront pas cette assertion téméraire, & me dispenseront d'entrer dans le détail des motiss qui m'engagent à penser ainsi. . Les Tables que je donne dans l'Article troisieme, p. 53, contiennent par ordre les différentes formes d'intégrales qui, étant différentiées, produisent les équations différentielles d'une forme donnée : telle est le principe sur lequel je les ai construites, & elles sont générales dans ce sens. Mais si je donne des valeurs particulieres aux coefficiens de ces formules que j'ai supposés généraux, les différen, tielles qui en résultent peuvent peut-être s'abaisser, sans que les intégrales changent de forme ; & cela arrivera, soit que les coefficiens des termes les plus élevés de ces différentielles s'évanouissent, soit quc ces différentielles aient des facteurs. Alors les différentielles d'un dégré donné pourroient avoir pour intégrales ou les intégrales générales pour ce dégré, ou des cas particuliers d'intégrales supérieures où l'abbaissèment ait lieu. Il faut donc pour avoir les intégrales de cette derniere classe d'équations, former une Table qui contienne tous ces cas particuliers. Voilà où je m'étois arrêté, & ce dont les observations de M. de la Grange m'ont fait sentir la nécessité. Quelque particuliere que soit une forme d'intégrale, elle est toujours telle, excepté pour le cas de ax-+-by-+-cp=o, que dans l'équation différentielle qui y répond, il puisse y avoir cinq coefficiens indéterminés, parcequ'on n'y chan-ge en aucune façon la forme de l'intégrale ni de la différentielle, en faisant x = Az + Bu + Cp, & y=A'7-+-B'u +-Cp ; mais il s'en faut de beaucoup qu'aucune des formesd'intégrales que donnent mes Tables, laissent indéterminés tous les coefficiens de la différentielle qui y répond. Cependant, l'équation différentielle où ils sont supposés quelconques, a une intégrale, comme je l'ai démontré dans la premiere Partie, Section premiere. Cette intégrale est donc pour chaque dégré une des formules générales des dégrés supérieurs. Il faut que cette forme contienne au moins autant de coefficients indéterminés, qu'il y en a dans l'équation différentielle; il faut encore qu'elle soit telle que le cas particulier où l'abaissement a lieu, ne le rappelle pas à une forme d'un dégré inférieur, cela seroit contre l'hypothèse, & que les condirions de cet abaissement laissent un nombre de coefficiens indéterminés, égal à celui des coefficiens de la différentielle. La Table des cas où cet abaissement a lieu, donnera les intégrales qui satisfont à ces conditions pour chaque dégré ; & ces intégrales ne seront pas fort élevées , par rapport

aux dégrés auxquels elles appartiendront; parceque plus

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a à déterminer, en supposant que ceux de la différentielle

sont quelconques. Cette forme générale étant trouvée, il y aura des cas particuliers qui lui échapperont; les uns

appartiendront à des formes moins compliquées , on les

aura par ce que j'ai dit , d'autres appartiendront à des formes plus compliquées,j'en parlerai ci-dessous, d'autres enfin

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n'appartiendront à aucune forme, & ce sont ceux où la différentielle auroit un facteur ; car dans ce cas, si ce facteur n'est pas un de ccux par lesquels on peut avoir besoin de multiplier l'équation différentielle, pour qu'elle soit la différentielle exacte de son intégrale, il n'y a aucune équation intégrale qui puisse produire l'équation différentielle, mise sous cette forme. Il est donc indispensable, avant que de chercher à intégrer par le moyen des Tables, de s'assurer par les méthodes ordinaires, que la proposée n'a point de facteurs, & de l'en débarrasser si elle en a. Ce que je viens de dire des équations à deux variables, est également vrai pour un nombre quelconque de variables, en observant que le nombre des coefficiens qui resteront toujouts indéterminés, sera pour un nombre n de variables, n - n + 1 — 1 ; & qu'au lieu d'une équation différentielle où tous ses coefficiens soient indéterminés, on aura à traiter une équation où ils ne seront liés entr'eux que par les conditions nécessaires pour que ces équations soient possibles. J'ai déja dit que l'abaissement des équations différentielles avoit lieu de deux manieres. La premiere, lorsque les coefficiens des puissances des variables se trouvent nuls dans un ou plusieurs des rangs supérieurs de l'équation différentielle. Soit, par exemple,

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exemple m'a été proposé par M. de la Grange. Mainte

nant, je dis que cette équation intégrale appartient aux 'formes pour le troisieme dégré; en effet, si on différentie une intégrale semblable , en donnant une forme générale aux fonctions qui y entrent, on aura une différentielle de ce dégré : mais qu'ici elle est du second, parceque ces fonctions sont telles que les coefficiens de tous les termes · qui monteroient au troisieme dégré sont égaux à zéro ; la même chose aura lieu pour-tout autre exemple. Mais comment cela arrive-t-il ? c'est que plusieurs des fonctions qui entrent dans les formes d'intégrales, ont égaux, entr'eux, les coefficiens des rangs supérieurs des puissances de x & y qui y entrent, ce qui fait que lcs termes supérieurs qu'ils auroient produits dans l'équation différentielle, peuvent disparoître tous entiers. Pour former donc une Table de tous ces cas, je supposerai dans chacune des formules, des Tables construites, comme je l'ai indiqué ci-dessus,

ue les coefficiens de plusieurs rangs supérieurs sont égaux | chacun à chacun dans deux ou plusieurs des fonctions qui y entrent, & cela, selon toutes les combinaisons possibles ; je remarquerai celles de ces suppositions qui Peuvent faire évanouir un ou plusieurs rangs supérieurs dans les dissérentielles, sans que les intégrales changentde forme; ie les ordonnerai ensuite, comme j'ai ordonné les formules de mes Tables. Cet abaissement ne va pas à l'infini , en ne supposant même dans une intégrale que deux fonctions

essentiellement différentes; en sorte que toutes les autres - nC

ne different de l'une ou de l'autre que par le dernier terme, ce qui est la supposition la plus simple, on verra naître des différentielles de tous les dégrés. J'ajouterai ces Tables, ainsi construites, à celles que j'avois déja , & j'aurai de nouvelles Tables qui contiendront pour chaque dégré d'équations différentielles, tant les formes générales qui y répondent, que les formes qui résultent des cas particuliers où d'autres formes plus élevées s'abaissent à ce dégré par l'évanouissement de leurs rangs supérieurs. La seconde espece d'abaissement a lieu, lorsque dans un cas particulier une forme générale est telle, que l'équation différentielle qui y répond, puissè avoir un facteur d'un ou plusieurs dégrés. Soit, par exemple, l'équation

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