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vcut , sans que l'équation dissérentielle change de forme pour cela, il est clair que cet abaissèment peut s'étendre à l'infini. Cet exemple m'a encore été proposé par M. de la Grange. Voyez, sur l'Intégration de l'Equation

xyo - x 2 ny - dx + x dy = o, le troisieme Volume des Mémoires de la Société de Turin. On peut faire sur ce cas les mêmes réflexions que sur celui que je viens de traiter, on verra, cn effet, que si je rends générale la forme de l'intégrale pour chaque valeur de n, & que je la dissérentie, j'aurai des différentielles de différens dégrés, mais que toutes se rapporteront au troisieme dans ce cas particulier, parcequ'elles auront des facteurs plus ou moins élevés ; en sorte que l'équation sous la forme où elle se présente, n'est que la vraie équation différentielle, produite par chaque forme & divisée par un factcur qu'elle se trouve avoir accidentellement. Maintenant pour dresser une Table dc tous ces cas, il faut, sans chaque forme d'intégrale des précédentes, chercher les conditions des coefficiens, pour que la différentielle ait un facteur d'un dégré plus ou moins élevé, observcr les cas où ces conditions ne changent pas l'intégrale de forme,& en former une Table. Il faut remarquer maintenant, 1°. qu'en construisant cette Table, on parviendra à trouver pour chaque dégré d'équations différentielles, leur forme intégrale générale & indépendante de toute condition entre les coefficiens dont j'ai parlé ci-dessus. 2°. Que cette Table ne contiendra par elle-même qu'un nombre fini de formes pour le cas où la formule d'intégrale est algébrique; mais que pour les autres cas, elle en peut

contenir une infinité. Ceci seroit un bien grand inconvénient, & rendroit même presque inutile tout l'appareil de la méthode, s'il n'y avoit pas moyen d'y remédier; mais d'abord il sera aisé de former une suite des différentes formes d'intégrales pour différens dégrés, qui, lorsque leurs coefficiens ont certaines conditions, s'abaissent à un même dégré, & on pourra chercher par les méthodes connues le terme général de cette suite, & la forme générale de ces conditions. D'ailleurs, 1 °. le terme algébrique de chaque formule intégrale sera toujours

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née aux coefficiens de la dissérentielle & de l'intégrale, arrête ces suites à un nombre fini quelconque de termes, & produit l'abaissement cherché. * Ce que je vicns de dire s'applique également, avec les réflexions convenables, aux cas où il y a un plus grand nombre de variables, où les différences montent à un dégré plus élevé, & même aux équations différentielles d'ordrcs plus élevés. On sent, combien des Tables construites selon ces principes, seroient utiles aux Géometres; puisqu'aucune équation différentielle n'y échappant, tout Problême, dont l'équation différentielle se trouveroit d'une des formes comprises dans les Tables, seroit dès lors résolu. Mais ces Tables s'arrêtent nécessairement à un point quelconque ; il faut donc donner une Méthode, d'y suppléer dans ces cas, qui puissè dès-lors servir à se passer de ces Tables, tant qu'elles resteront à construire. Soit, pour cela A dx + B dy = o une équation différentielle sans radicaux, il suit de mes principes que, si je la mul

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s'arrêtant toujours à un nombre fini de termes, elle deviendra une différentielle exacte : on sait qu'elle est pour ce cas l'équation de condition. On supposera qu'elle ait lieu , & cette supposition donnera les valeurs des coefficiens des deux fuites, & le point où ellcs doivent s'arrêter. Cette opération faite, on n'aura plus à intégrer qu'une différentielle exacte. Or , ces sortes d'équations n'étant point

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susceptibles du second abaissement, on sait de quelles formes l'intégrale est susceptible & où elle s'arrête. Si A & B contenoient une ou plusieurs fonctions affectées de radicaux , il faudroit que dans les deux suites ci-dessus, ces fonctions fussènt semblablement aux x & y. L'intégrale n'en peut point contenir d'autres, cette remarque est très importante pour les quadratures. Voyez le Mémoire précédent. Il en seroit de même si A & B contenoient des fonctions transcendantes ; cela s'applique aussi aux équations possibles à trois, quatre variables, &c. Si j'ai A d* x + B doy + C = o , en sorte que A, B, C soient des fonctions algébriques de x, y, dx , dy, il est clair que cette équation, si elle est possible, deviendra une différentielle exacte, en se multipliant par une suite semblable à celle ci-dessus, en regardant dx & dy comme deux nouvelles variables qui doivent y être homogènes entr'elles ; mais on a les équations de condition pour ce cas , & elles serviront à trouver les coefficiens de cette suite & le point où elle finit. Cette suite trouvée, la Remar.. que II du IV Problême, donnera le moyen de traiter cette équation du second ordre, comme une du premier. Quelle que soit la forme d'intégrale, dont soit susceptible une différentielle du second ordre, il est clair qu'on peut trouver en la multipliant par une fonction algébrique, & intégrant ensuite, chacune des deux différentes équations du premier ordre qui y répondent, & dont M. Fontaine a le premier connu l'existence, la suite sera donc susceptible d'avoir deux valeurs; mais comme il peut arriver que l'intégrale d'une des deux différentielles exactes qui y répondent, ne soit pas sous une forme à y appliquer la Méthode pour avoir l'équation finie; s'il arrive qu'on choisisse celle-là , on n'aura pas travaillé en pure perte pour cela, Parceque trouvant l'autre équation du premier ordre, sa comparaison avec la premiere, donnera l'intégrale finie par deux intégrations successives aux différences premieres, de même que si on avoit choisi cclle à l'intégration, de laquelle on peut appliquer la Méthode ci-dessus. Ce que je viens de dire du second ordre est également vrai du troisieme, du quatrieme, &c. , en sorte que de quelqu'ordre que soit une équation différentielle, on n'aura jamais à intégrer, en esset, que des équations du premier ordre, dont l'intégrale se trouvera sans difficulté d'après ce que je viens d'établir. On sent maintenant que pour ne laisser plus rien à desirer sur le Calcul Intégral, il ne me reste plus qu'à donner un moyen d'intégrer les différentielles exactes , affectées de radicaux, c'est-à-dire, de les rappeller aux différentielles rationnelles : soit une équation du premier ordre qui contienne un radical d'une fonction de x & de y, je l'appellez ; & alors la fonction différentielle sera une différentielle exacte d'une fonction de x, y, 7; ou pour d#, on aura mis sa valeur toujours rationelle, & x, y, 7, dx, dy. Cela posé, je dis, 1°. que l'intégrale de cette fonction ne pourra pas être plus élevée que celle de la plus haute fonction rationelle,qu'on peut avoir en mettant à la place de dx sa valeur en dy & dg, & à la place de dy sa valeur en dx & dz ;

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