Images de page
PDF
ePub

veut, fans que l'équation différentielle change de forme pour cela, il eft clair que cet abaiffement peut s'étendre à l'infini. Cet exemple m'a encore été propofé par M. de la Grange. Voyez, fur l'Intégration de l'Equation

---

xy2 — x — 2 ny.dx+xdy= dx+xdy=0, le troifieme Volume des Mémoires de la Société de Turin. On peut faire fur ce cas les mêmes réflexions que fur celui que je viens de traiter, on verra, en effet, que fi je rends générale la forme de l'intégrale pour chaque valeur de n, & que je la différentie, j'aurai des différentielles de différens dégrés, mais que toutes fe rapporteront au troisieme dans ce cas particulier, parcequ'elles auront des facteurs plus ou moins élevés; en forte que l'équation fous la forme où elle se présente, n'est que la vraie équation différentielle, produite par chaque forme & divifée par un facteur qu'elle fe trouve avoir accidentellement.

il

Maintenant pour dreffer une Table de tous ces cas, faut, fans chaque forme d'intégrale des précédentes, chercher les conditions des coefficiens, pour que la différentielle ait un facteur d'un dégré plus ou moins élevé, obferver les cas où ces conditions ne changent pas l'intégrale de forme,& en former une Table. Il faut remarquer maintenant, 1°. qu'en conftruifant cette Table, on parviendra à trouver pour chaque dégré d'équations différentielles, leur forme intégrale générale & indépendante de toure condition entre les coefficiens dont j'ai parlé ci-dessus. 2°. Que cette Table ne contiendra par elle-même qu'un nombre fini de formes pour le cas où la formule d'intégrale est algébrique; mais que pour les autres cas, elle en peut

contenir une infinité. Ceci feroit un bien grand inconvénient, & rendroit même prefque inutile tout l'appareil de la méthode, s'il n'y avoit pas moyen d'y remédier; mais d'abord il fera aifé de former une fuite des différentes formes d'intégrales pour différens dégrés, qui, lorfque leurs coefficiens ont certaines conditions, s'abaiffent à un même dégré, & on pourra chercher les méthodes connues par le terme général de cette fuite, & la forme générale de ces conditions. D'ailleurs, 1°. le terme algébrique de chaque formule intégrale fera toujours

[merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small]

ces suites étant toujours finies. 2°. La fonction transcendante fera la fomme de logarithmes de fuites femblables; mais fuppofant ces fuites les plus fimples qu'il est possible, & le terme algébrique conftant, il eft clair que plus on prendra de ces logarithmes, plus le dégré de l'équation différentielle qui répond à la forme intégrale fera élevé, quelque fuppofition que l'on faffe; donc le nombre n'en pourra être indéfini pour un dégré donné; donc le nombre des fonctions logarithmiques plus élevées, ne le fera pas non plus. Cela pofé, on aura pour chaque dégré un nombre fini de formes générales & indéfinies: on fuppofera l'équation propofée, multipliée auffi par une fuite indéfinie: on la comparera avec l'équation différentielle que produit la forme générale, & on déterminera, par cette comparaifon, tous les cas où une certaine valeur don

née aux coefficiens de la différentielle & de l'intégrale, arrête ces fuites à un nombre fini quelconque de termes, & produit l'abaiflement cherché.

Ce que je viens de dire s'applique également, avec les réflexions convenables, aux cas où il y a un plus grand nombre de variables, où les différences montent à un dégré plus élevé, & même aux équations différentielles d'or dres plus élevés. On fent, combien des Tables conftruites felon ces principes, feroient utiles aux Géometres; puifqu'aucune équation différentielle n'y échappant, tout Problême, dont l'équation différentielle fe trouveroit d'une des formes comprifes dans les Tables, feroit dès lors réfolu. Mais ces Tables s'arrêtent néceffairement à un point quelconque; il faut donc donner une Méthode, d'y fuppléer dans ces cas, qui puiffe dès-lors fervir à se passer de ces Tables, tant qu'elles refteront à conftruire. Soit, pour cela Adx + Bdy: o une équation différentielle

fans radicaux, il fuit de mes principes que, fi je la mul

[merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][subsumed][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors]

s'arrêtant toujours à un nombre fini de termes, elle deviendra une différentielle exacte: on fait qu'elle est pour ce cas l'équation de condition. On fuppofera qu'elle ait lieu, & cette fuppofition donnera les valeurs des coefficiens des deux fuites, & le point où elles doivent s'arrêter. Cette opération faite, on n'aura plus à intégrer qu'une différentielle exacte. Or, ces fortes d'équations n'étant point

fufceptibles du fecond abaiffement, on fait de quelles formes l'intégrale eft fufceptible & où elle s'arrête.

Si A & B contenoient une ou plufieurs fonctions affectées de radicaux, il faudroit que dans les deux fuites ci-deffus, ces fonctions fuffent femblablement aux x &y. L'intégrale n'en peut point contenir d'autres, cette remarque eft très importante pour les quadratures. Voyez le Mémoire précédent. Il en feroit de même fi A & B contenoient des fonctions tranfcendantes; cela s'applique auffi aux équations poffibles à trois, quatre variables, &c. Si j'ai Ad2x + Bdy+C=o, en forte que A, B, C foient des fonctions algébriques de x, y, dx, dy, il est clair que cette équation, fi elle eft poffible, deviendra une différentielle exacte, en fe multipliant par une fuite femblable à celle ci-deffus, en regardant dx & dy comme deux nouvelles variables qui doivent y être homogènes entr'elles; mais on a les équations de condition pour ce cas, & elles ferviront à trouver les coefficiens de cette fuite & le point où elle finit. Cette fuite trouvée, la Remar.. que II du IV Problême, donnera le moyen de traiter cette équation du fecond ordre, comme une du premier. Quelle que foit la forme d'intégrale, dont foit fufceptible une différentielle du second ordre, il eft clair qu'on peut trouver en la multipliant par une fonction algébrique, & intégrant enfuite, chacune des deux différentes équations du premier ordre qui y répondent, & dont M. Fontaine a le premier connu l'existence, la fuite fera donc fufceptible d'avoir deux valeurs; mais comme il peut arriver

que

fa

l'intégrale d'une des deux différentielles exactes qui y rẻpondent, ne foit pas fous une forme à y appliquer la Méthode pour avoir l'équation finie; s'il arrive qu'on choififfe celle-là, on n'aura pas travaillé en pure perte pour cela, parceque trouvant l'autre équation du premier ordre, comparaison avec la premiere, donnera l'intégrale finie par deux intégrations fucceffives aux différences premieres, de même que fi on avoit choifi celle à l'intégra tion, de laquelle on peut appliquer la Méthode ci-deffus. Ce que je viens de dire du fecond ordre eft également vrai du troisieme, du quatrieme, &c.; en forte que de quelqu'ordre que foit une équation différentielle, on n'aura jamais à intégrer, en effet, que des équations du premier ordre, dont l'intégrale fe trouvera fans difficulté d'après ce que je viens d'établir.

On fent maintenant que pour ne laiffer plus rien à defirer fur le Calcul Intégral, il ne me refte plus qu'à donner un moyen d'intégrer les différentielles exactes, affectées de radicaux, c'est-à-dire, de les rappeller aux différentielles rationnelles foit une équation du premier ordre qui contienne un radical d'une fonction de x & de y, je l'appellez; & alors la fonction différentielle fera une différentielle exacte d'une fonction de x, y, z; ou pour dz, on aura mis fa valeur toujours rationelle, & x, y, z, dx, dy. Cela pofé, je dis, 1°. que l'intégrale de cette fonction ne pourra pas être plus élevée que celle de la plus haute fonction ratiofa nelle,qu'on peut avoir en mettant à la place de dx sa valeur en dy & dz, & à la place de dy fa valeur en dx & dz;

« PrécédentContinuer »