2 enfin u, u', u'... les vîteffes des corps M, M, M"... ds=√2 'dx2+dy2+dz2, ds' =√ dx'2+dy'2+dź2, ds"=√dx"2+dy"2+dz"... les efpaces parcourus par ces mêmes corps, & de l'élément du tems, que je fuppofe conftant. " --- dz + dz + Je suppose qu'au lieu de parcourir les efpaces ds, ds', ds"... les corps parcourent les efpaces ds, ds', ds". à cause d'un changement quelconque dans les forces (les différentielles affectéesde la caractéristique d'étant absolument indépendantes de celles qui font affectées de la caractéristique ordinaire); la fomme des forces néceffaires pour opérer ce changement dans le fyftême, fera M. Pdx dx + Qdy dy + Rdz M'. P'dx^ dx' + Q'dy' — dy' + R' dz' — dź M". P′′ d'x"— d x" + Q′′dy"— dy" + R′′ d z′′— dz′′. +MM'Fdf-dƒ• ·· + MM"F' dƒ' — dƒ'• 'M'M"F, dƒ,—df,... & par conféquent la fomme de toutes les forces du fyftême fera dans l'hypothese SM.Pdx+Qdy+Rdz+M'.P'dx'+Q'dy'+R'dz' +M".P"d x" + Q"dy" + R"dz" '··· + MM'Fdf+ MM"F'dƒ'. ...+M'M"Fdf le figne d'intégration f fe rapportant à la caractéristique d. Multipliant par dt, élément du tems, j'aurai la quantité d'action qui, dans l'hypothefe, s'exercera dans le fystême. Mais dans les mêmes fuppofitions, cette quantité d'action est auffi f Mudds + Mudds' + M"u"dds"... & ces deux expreffions doivent être identiques entre elles. Donc f Mudds + Mudds' + M"u"dds" M.Pdx+Q¿y+Rdz. dt—M'.P'dx'+ Q'dy'+R'dz', di M". P"d x"+Q"dy"+R"dz".dt • • • — MM'Fdf.dt - MM"F'df'.dt M'M'Fdf. dr. Je mets dans cette équation, pour dds, fa valeur. dx. d d x + dy, d3 y + d z dd; pour dds', fa valeur ds dx'. ddx'+dy'.ddy'+dz. ddz′′ ; pour dds", fa valeur ds' ds" dx". d d x"+dy".ddy"+dz".dd". J'intègre par partie, enforte qu'il me reste fous le figné une fonction qui ne foit plus fufceptible de réduction; & j'ai, 1o. un terme hors du figne, qui fera nul de lui-même, ou le deviendra felon que Ta tra en vertu de fuppofitions convenables, selon jectoire fera affujettie à paffer par certains points, ou à d'autres fuppofitions; 2°. une fonction fous le figne, qui fera auffi égale à zero : ce qui me donnera + Md. + MQ dt + FMM' ? — " di + udy d2 + MR dt + FMM de + u dz ds FM M" "dt ... u"dy". dt + M"d. + M"Q"dt — F'M M" "y" di Mais cette équation doit avoir lieu, quels que foient les dx, dy, dz, &c. Donc, égalant à zero chacun de leurs coefficiens, j'aurai perpétuellement entre les coordonnées & les viteffes, les équations fuivantes, qui feront pour chaque corps au nombre de trois. 2°. M d. "dy + MQ dt + FMM'de+ ds 3°. Md. "dz + M R dt + FMM dt + FMM" 4°. M' d. ds x'—x" ds + MP'dt - FMM de + F, M'M" — " dt • .• › = 0. f u'd y' f + 5°. M'd. way + M'Qdt - FMM de + 1 6o. M'd. "4+ M'R'de - FMM dt + t - 7. Md. """ + M"P"dt FMM di FMM dt = o. * · 8°. M"d. """ + M"Q"dt — FMM" dt → FMM di... O. f 9. M"d. u"dz" f dt +M"R"dt FMM de F, M'M" " de... =o. Equations qui fuffiront t dans tous les cas, pour avoir le mouvement de chacun des corps. C. Q. F. T. REMARQUE I. SIL y avoit entre les coordonnées une ou plufieurs équations données, indépendantes de celles du problême, on fubftituera dans le terme qui refte fous le figne, la valeur d'une ou de plufieurs des différentielles affectées du figne d, tirée de ces équations; on égalera à zero le coefficient de chacune de celles qui reftent : & ces équations, jointes aux équations données, ferviront à réfoudre le problême." REMARQUE II. PUISQUE le coefficient de chacune des différentielles affectées de la caractéristique d eft nul, il eft clair qu'en mettant dans la fonction fous le figne, dx à la place de dx, & ainfi de fuite, on aura une fonction qui fera àuffi égale à zero. Développant enfuite tous ces termes, puis réduifant, & fubftituant pour fa valeur du, on aura dds • di Mudu+M'u'du+Mu'du+M. Pdx+Qdy+Rdz +M'. P'dx'+Q'dy'+R'dz+M". P"dx"+Q"dy"+R"dz" +MMFdf+MM"F'df'. +M'M"Fdf 0: équation qui eft la même que celle que donné le principe des forces vives, & qui renferme ce principe. REMARQUE III. At TOUTES les fois que le mouvement eft poffible, la fonction |