Images de page
PDF
[ocr errors][ocr errors][ocr errors]

a + bx + cy + d + · · · : B a'+ b'x + c'y -+ a'| · · · rentielle exacte d'une fonction de x, y, 7. Cela servira à déterminer les coefficiens de la suite qui sera toujours finie, & on n'aura plus alors à intégrer qu'une fonction rationnelle. Cette méthode est, comme on voit, générale pour un nombre quelconque de radicaux. Les équations aux différentielles partielles sont trop importantes pour que je puisse me refuser à joindre ici le moyen d'y appliquer la Méthode précédente. Soit donc une de ces équations du premier ordre entre z , x & y, je dis que si elle admet une solution complette, & qu'elle ne soit pas réductible à une équation ordinaire du même ordre , elle sera susceptible de la forme.

[ocr errors]
[ocr errors][ocr errors]

Comparant terme à terme, avcc la proposée, on déterminera deux des A , B, C, en M, V, P, & on aura une équation entre M , IV , P, ou réciproquement, &

[ocr errors]
[ocr errors][merged small][ocr errors]

"

[ocr errors][ocr errors][ocr errors]

manque de cette analogie qui plaît tant.Voici des moyens
d'y suppléer, D'abord, supposant que dans les équations
, de conditions que donne le Problême II , pour le cas du
Problême III, on ait regardé comme nuls les termes multi-
pliés par V+V"+ V" .. = o, J. V+V"+V". - = o,&c.
on substituera dans ces équations les valeurs des plus hau-
tes différences, tirées de la proposée & de ses différen-
ces; & lorsque la proposée sera possible, toutes les équa-
tions précédentes se réduiront à une. En second lieu, les
mêmes équations étant trouvées par le Problême III, il ne
sera pas difficile d'en tirer une suite infinie d'équations sem-
blables, dont la loi sera donnée , & qui contiendront éga-
lement toutes les différences partielles de A-+-A'+A"....
toujours au premier dégré , je les regarderai chacune
comme une variable particuliere , & j'aurai les équa-
tions de condition convenable par la formule en suite,
qui se trouve à la suite du troisieme Mémoire. -
La complication de ces équations est une conséquence né-
cessaire de la supposition qui a été faite pour représenter
les diffences finies, sous la forme générale d'une suite in-
finie ; mais on peut s'en passer, & avoir des équations de
condition plus simples. 1°. Soit V = J B, dV= d. J B,

[ocr errors]

· d . # = d • # + un terme qu'il faut chercher, ce terme est égal à ce que devient á B, en ne regardant comme variables, que les p que la différentiation fait naître. Or, il est clair qu'appellant B" ce que devient B, en faisant

[ocr errors][merged small][ocr errors]
[ocr errors]

tielle de B", en ne regardant comme variable que x +-p, d B'

[ocr errors]
[ocr errors][ocr errors][ocr errors]

a/J^ / - - d • #= o pour equation de condition; on en aura une

[ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors]

ment semblables, que j'ai données ci-devant pour les dif-
férences ordinaires. Ces sortes d'équations de condition,
peuvent aussi se tirer de la derniere Méthode.
Lorsqu'on a une équation aux différences finies d'une
forme finie , les transcendantes de l'intégrale s'y trouve-
ront ; ainsi dans ce cas, il sera toujours facile d'intégrer
les équations aux différences infiniment petites où elles se
réduisent. ^-

[ocr errors][ocr errors]
[ocr errors]
« PrécédentContinuer »