2o.

.que foit Adz +Bdy la propofée,& dz=A'dx+B'dỳ.

La formule

a+bx+cy+dz · · · · a+b'x+c'y+dz · · · ·

dz + A

+B

dz·

a + bx + cy + dz・・・ A'd x a+b'x+cy + dz···

a + bx + cy + d z · · · · B'dy doit être une diffé

a' + b'x+c'y + a'z·

rentielle exacte d'une fonction de x,y, 7. Cela fervira à déterminer les coefficiens de la fuite qui fera toujours finie, & on n'aura plus alors à intégrer qu'une fonction rationnelle. Cette méthode eft, comme on voit, générale pour un nombre quelconque de radicaux.

Les équations aux différentielles partielles font trop importantes pour que je puiffe me refufer à joindre ici le moyen d'y appliquer la Méthode précédente. Soit donc une de ces équations du premier ordre entre z, x &y, je dis que fi elle admet une folution complette, & qu'elle ne foit pas réductible à une équation ordinaire du même ordre, elle fera fufceptible de la forme.

Comparant terme à terme, avec la propofée, on déterminera deux des A, B, C, en M, N, P, & on aura une équation entre M, N, P, ou réciproquement, & on déterminera le refte d'après ce que tous ces termes doivent être de la forme a+b+cy + dz

a+bx'+cy'+dz'•

& que Adx+B dy+Cdz, Mdx+Ndy+Cdz doivent être des différentielles exactes; & alors l'intégrale fera fAdx+Bdy+Cdz+F.JMdx+Ndy+Pdz = 0

ou bien que Adx+Bdy+Cdz+Q. Mdx+Ndy+Fdz foit une différentielle exacte, & pouvant contenir une transcendante; & alors l'intégrale de cette formule fera l'intégrale cherchée. Ce dernier cas ne peut fe diftinguer à priori du premier, parcequ'il fe peut rappeller à une équation du fecond ordre fans différences partielles. Le Problême fe fimplifieroit beaucoup, fi on favoit qu'on pûɛ faire Po; & les cas où cela eft permis, peuvent aussi se déterminer à priori.

Cette Méthode s'étend aux cas plus compliqués. J'avertirai ici en paffant, que dans la formule Foxy z +F''xyz de la page 89, & dans les formules femblables, que peut contenir F', pourvu que F' ne fe trouve point dans dF, & que cette fuppofition n'y introduise point de nouvelle tranfcendante.

On pourroit auffi employer pour ces fortes d'équations, la Méthode fuivante, qui, fans être générale, cft assez étendue; soit une équation aux différences partielles en z, x&y. Je cherche à l'intégrer, en regardant x feul そっ comme variable, & les, &c. comme des fonctions de x; fi j'y parviens en général, & qu'il me foit poffible d'éliminer les « à l'aide d'une équation entre & y,

dy

dy

on

a à tirer de l'intégrale générale une valeur fans dx: il ne fera plus difficile de réfoudre la propofée par les Méthodes ordinaires de Calcul Intégral. Tous les cas réfolus M. de la Grange, font compris dans cette Méthode. La Méthode du Problême III de la feconde Partie du Calcul intégral, n'est ni assez directe, ni assez simple, &

par

manque

manque de cette analogie qui plaît tant. Voici des moyens d'y fuppléer, D'abord, fuppofant que dans les équations de conditions que donne le Problême II, pour le cas du Problême III, on ait regardé comme nuls les termes multipliés par V+V+V" • •=o‚♪• V+V'+V". •=0,&c. on fubftituera dans ces équations les valeurs des plus hautes différences, tirées de la propofée & de fes différences; & lorfque la propofée fera poffible, toutes les équations précédentes fe réduiront à une. En fecond lieu, les mêmes équations étant trouvées par le Problême III, il ne fera pas difficile d'en tirer une fuite infinie d'équations femblables, dont la loi fera donnée, & qui contiendront également toutes les différences partielles de A+A+A"···· toujours au premier dégré, je les regarderai chacune comme une variable particuliere, & j'aurai les équations de condition convenable par la formule en suite, qui fe trouve à la fuite du troifieme Mémoire.

La complication de ces équations eft une conféquence néceffaire de la fuppofition qui a été faite pour représenter les diffences finies, fous la forme générale d'une fuite infinie ; mais on peut s'en paffer, & avoir des équations de condition plus fimples. 1°. Soit V=♪B, dV=d• ♪ B,

terme est égal à ce que devient &B, en ne regardant comme variables, que les p que la différentiation fait naître. Or, il eft clair qu'appellant B' ce que devient B, en faisant

L

& de

x=x+♪x ou x+p, p p + Sp ou q••.. même pour les autres variables, ce terme fera la différentielle de B', en ne regardant comme variable que x+p, fubftitué à la place x, ce terme fera donc ;

B

dp

d B'

dx

donc fi

fe réduifant à

d B'

d Vi

=

dx

d'où ;

dv

Ꮄ

dp

dx

F

o pour équation de condition; on en aura une femblable pour chaque variable. Il eft aifé de voir que cette Méthode s'étend à un ordre quelconque. 2o. On pourroit employer auffi la Méthode d'intégrer par parties qu'emploie M. de la Grange; car intégrant ainsi ≥ dV, les termes qui restent fous le figne affectés de la caractéristique d, doivent être nuls. 3°. Soit Fune fonction finie, fa feconde valeur, F, la valeur inférieure; la différence est FF: y mettant à la place de x, x-x, & ainfi pour chaque variable, cette différence deviendra F-F, ; mais fi on met à la place de dx, -x, & de même pour les autres variables, on aura F,— F; donc faisant fucceffivement ces deux fuppofitions, lorfque la proposée est une différence exacte, on doit avoir des quantités de fignes différens. Cela s'applique aux ordres plus élevés mutatis mutandis. Les équations de condition pour la poffibilité des équations fe tirent immédiatement des deux premieres Méthodes qui conduisent aux mêmes formules,& font fufceptibles des mêmes extentions que les Méthodes absolu

ment femblables, que j'ai données ci-devant pour les différences ordinaires. Ces fortes d'équations de condition, peuvent auffi fe tirer de la derniere Méthode.

Lorsqu'on a une équation aux différences finies d'une forme finie, les tranfcendantes de l'intégrale s'y trouveront; ainfi dans ce cas, il fera toujours facile d'intégrer les équations aux différences infiniment petites où elles fe réduifent.

FIN.