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fonction égalée ci- deffus à zero peut être regardée comme intégrable; mais dans ce cas j'ai Mudu + M'u'd u'+M"u"du"..+M. Pdx+Qdy+Rdz +

M'.P'dx'+Q'dy'+R'dz+M".P"dx"+Q′′dy"+R′′dz′′•• +MM'F¿f+MM'F'dƒ'..+M'M"F1dƒ‚•

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ds ds' ds"

>
di di di

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Donc, comparant cette équation avec celle du problême, j'aurai Mudds+Mududt+M'u'dds'+M'u'du'dt +M"u"dds" + M"u'd u'd t··· = o. Donc, mettant leurs valeurs pour u, u', u'. j'aurai Mudds + Mdsdu + M'udds' + M'ds' du' + M"u"dds"+M"ds"du"••=o; & réduifant, fd. Muds +M'u'ds' +M"u"ds"..=o, ou d. f Muds+Muds + M"u"ds" • • = o. Donc f Muds + Muds' + M"u"'ds".. eft un minimum. Donc le principe de la moindre action a lieu toutes les fois que le mouvement eft poffible, mais ne peut être employé pour trouver les équations du problême, que lorfque la formule ci-deffus eft immédiatement intégrable. Cela a été auffi remarqué par M. de la Grange.

SECONDE PARTIE DU PROBLEME.

Pour avoir les équations du premier cas du problême, il eft aifé de voir qu'il n'y a qu'à faire, dans les neuf équations ci-dessus, P, Q, R; P, Q, R'; P", Q", R", égaux à zero, & F =

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F=

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ds

u =

-B

enfuite dans ces équations, u=

F. Je fais

ds"

di

& elles deviennent

re

x

1′′. ddx + M2*—* de2 + M"" de2 = 0,

2o. ddy + M22—/′ de2 + M""—" dr2 = 0

f's

3°. ddz + M2—2 dr2 + M"2={"′ dt2 = 0,

f

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6°. ddz' — M2—2 de2 + M" {—X" dr2 = 0,

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My dr2 = 0,

f

9°. d d z′′ — M2—” de2 — M' — dr2 = 0.

f's

f}

Pour avoir maintenant les équations des courbes que décrivent les corps, j'élimine dt, & j'ai les huit équations fuivantes :

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Et l'on pourroit, au lieu des équations . & 8. en avoir d'autres femblables en ddy & ddy', ddy & ddy", ou ddz & ddź, ddz & ddz". Cela pofé, il eft aifé de voir qu'y ayant neuf variables & huit équations, on pourra éliminer par les méthodes connues, enforte qu'il ne reste plus que des équations entre deux variables, telles qu'elles doivent être pour déterminer le mouvement de chaque corps, & leur pofition refpective à chaque instant. Mais, quoique la méthode que j'ai donnée dans mon précédent Ouvrage foit générale, elle demande de fi longs calculs, même pour le premier ordre, qu'il n'en faut efpérer immédiatement aucun fecours pour des équations de l'efpece de celles-ci, qui monteront naturellement au vingtieme ordre. Il me faut donc chercher ici d'autres fecours; & c'eft dans la nature du problême que j'efpere les trouver.

Je remarque donc, 1°. que le mouvement du corps M doit être donné par une équation en x & en y, & par une équation en x & en 7, ou bien en y & en z; le

le

mouvement du corps M' par une équation en x' & y', & par une équation en x' & ', ou bien en y & z' ; mouvement enfin du corps M" par une équation en x" & y", & une équation en x" & ", ou bien y" & "; & que la pofition refpective de ces corps dans l'efpace pour chaque inftant fera donnée par une équation en x & x', & une équation en x & x", ou, fi l'on veut, par deux équations, foit en y & y', & eny & y", foit en z & z', & en z & 7′′.

2°. Que, puifque les forces qui agiffent fur les corps font femblablement compofées des coordonnées x, y, z ; x', y', z' ; x", y", "; & que la maffe des corps, leur vîteffe primitive, leur premiere pofition dans l'efpace, toutes quantités conftantes, font les feules chofes qui faffent que le mouvement d'un de ces corps ne foit pas celui d'un autre; il eft aifé de voir que, 1°. les équations en x & y, x & 7; x' & y', x' & z' ; x" & y" x" & z′′, feront femblables, & ne différeront que par les coefficiens conftans; c'est-à-dire qu'on aura dans l'équation en x' & y', ou en x" & y", des fonctions de x' & y', ou de x" & y", femblables à celles de x & y qui entrent dans l'équation en x & y, & qu'il en fera de même des équations en x & z, x' & z', x′′ & z′′. 2°. Que les équations qu'on auroit en y & y', y & y", z & ¿', ¿ & ?'"', feront également femblables aux équations qu'on aura entre x & x, x & x". 3°. Que les équations en x & y, x & %, feront telles que les fonctions de y qui entreront dans la premiere, feront femblables à celles de qui entreront dans la feconde, & qu'il en fera de même des équations en x' & y', x' &z', ou x" & y", x" & z". 4°. Enfin, que

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dans ces équations, les fonctions égalées à zero feront femblablement compofées des variables x & y pour l'équation en x & y, des variables x & z pour l'équation en x &, & ainfi pour toutes les autres équations. D'où il fuit, & de ce qu'on doit tirer des équations en x & y, x & %, une équation en y & semblablement compofée de ces deux variables, & d'une maniere femblable à celle dont l'équation en x & y eft compofée de x &y; il fuit, dis-je, qu'on doit avoir une fonction de x égale à une fonction semblable de y, & ainsi pour les autres équations. Tout ceci s'accorde parfairement avec la forme des équations que j'ai trouvées dans la premiere Partie du Problême; car fi l'on joint aux huit ci-deffus, les autres équations qu'on en peut déduire, on verra que les neuf variables y entrent d'une maniere femblable.

Je remarque, en troifieme lieu, que fi je joins aux huit équations dont je viens de parler, une équation entre le tems & une quelconque des coordonnées, j'aurai toutes les équations néceffaires pour réfoudre le problême; que j'aurai par conféquent une équation entre t & chacune des coordonnées; que ces équations feront femblables, & que ces neuf équations entre & chacune des coordonnées fuffiront auffi pour réfoudre le problême.

Je remarque enfin, que fi au commencement du mouvement je fuppofe à chacune des coordonnées une valeur donnée, j'aurai la position primitive de chacun des corps dans l'efpace; que leur direction primitive fera donnée pour M par les valeurs de & dans cet instant,

dx

dy

dx

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