neuf chapitres du livre. Le premier chapitre, dont le titre textuel est Champs carrés, traite de la mesure des surfaces; on y trouve la règle pour mesurer la surface du triangle, en multipliant sa base par la moitié de sa hauteur. Pour mesurer un cercle l'auteur donne six méthodes; l'une d'elles consiste à multiplier la circonférence par le quart du diamètre, ce qui est exact, mais le rapport de la circonférence au diamètre est supposé égal à 3, ce qui est une erreur considérable; les commentateurs prétendent, il est vrai, que l'auteur, sur ce point, savait à quoi s'en tenir, mais que le nombre 3 lui semblait suffisamment approché pour la solution des problèmes qu'il voulait résoudre. On doit remarquer, en effet, que, dans un ouvrage du vr siècle, le Meih-suh, ce rapport est représenté par 2.

Le second chapitre est intitulé Riz et argent; on y donne des règles pour calculer, dans un grand nombre de cas supposés, le prix d'une certaine quantité de riz.

Le troisième chapitre traite des règles de société.

Le quatrième chapitre a pour titre Evolution; on y trouve, sous forme de vingt-quatre problèmes, la théorie de l'extraction des racines carrées ou cubiques.

Le cinquième chapitre, Mesure des corps, est un traité de la mesure des solides; on y trouve l'évaluation des prismes, des pyramides, des cônes, du tronc de pyramide, la manière de cuber les terres à remuer quand on creuse un fossé cu une grotte. Le même chapitre contient des règles sur la mesure de la vitesse dans les divers modes de voyager, à pied, à cheval, en bateau, etc.

Le sixième chapitre contient les Règles de mélange; on y trouve des règles pour le calcul de l'impôt, lorsque le chiffre de la population est connu ainsi que le bien de chaque contribuable; le problème suivant s'y trouve résolu: Supposons qu'on ait enfermé dans une cage un certain nombre de lapins et de faisans, en tout 35 têtes et 94 pattes; calculer le nombre des animaux de chaque espèce.

Le septième chapitre a pour titre Abondance et disette; les problèmes auxquels il est consacré sont analogues au suivant: Un certain nombre de personnes ont acheté une certaine quantité de marchandises; si chacune d'elles avait 8 kasch, il y aurait 3 kasch de trop; mais, si chacune avait payé 7 kasch, il y aurait 4 kasch de moins; combien y a-t-il de personnes et quel est le prix des marchandises?

Le huitième chapitre traite des équations, et, dans leur application à dix-huit problèmes, on développe toute la théorie des équations du premier degré. L'un des problèmes est le suivant: 5 bœufs et 2 brebis.

coûtent 10 taels d'or; 2 bœufs et 8 brebis, 8 taels; quel est le prix d'un boeuf et celui d'une brebis?

Le neuvième chapitre est un traité de trigonométrie fondé, suivant l'esprit du livre, sur la solution des problèmes; en voici quelques-uns : Au milieu d'un étang carré, dont le côté est 10 pieds, croît un jonc qui s'élève d'un pied au-dessus de l'eau; lorsque, sans le déraciner, on l'attire vers le rivage, son extrémité touche le bord de l'étang; quelle est, au centre, la profondeur de l'eau?

Lorsque, en ouvrant une porte à deux battants, le bord intérieur des battants est éloigné d'un pied du chassis, l'espace libre entre les deux battants est de 2 pouces ; quelle est la largeur de la porte?

Un bambou, haut de 10 pieds, a été brisé à une certaine hauteur; lorsqu'on fait toucher le sol à la partie supérieure (en l'étendant en ligne droite à partir du point de rupture), elle se trouve éloignée de 3 pieds du pied du bambou; quelle est la hauteur du bambou jusqu'à sa rupture?

Quel est le diamètre du cercle inscrit dans un triangle rectangle, dont les côtés sont 8 et 15?

L'arithmétique des Chinois qui, d'après l'extrait qui précède, était déjà fort avancée au XIII° siècle, a reçu, depuis, d'importants développements. La grande modestie des savants chinois rend la date précise de chaque progrès difficile à fixer avec précision; leur habitude constante est, en effet, de présenter leurs découvertes comme des éclaircissements ajoutés aux œuvres de leurs prédécesseurs.

L'une des règles d'arithmétique les plus remarquables et le plus souvent développée par les savants chinois est le Ta-yen ou grand développement; elle se trouve, pour la première fois, avec une concision qui la rend fort difficile à comprendre, dans l'ouvrage classique de Sun-tsze, sous le titre de Grandeurs inconnues, qui paraît remonter au I siècle de l'ère chrétienne. La règle de Sun-tsze est présentée en quatre lignes rimées, puis développée par la solution du problème suivant : Un nombre divisé par 3 donne pour reste 2; divisé par 5 il donne 3, et par 7 il donne 2; quel est le nombre? La réponse est 23, qui satisfait évidemment aux trois conditions de l'énoncé. Mais la manière de l'obtenir n'est pas fort claire: divisé par 3 il donne pour reste 2, écrivez 140; divisé par 5 il donne pour reste 3, écrivez 63; divisé par 7 il donne pour reste 2, écrivez 30; la somme de ces nombres est 233, en en retranchant 210 il reste 23, c'est le nombre cherché. Cette explication est accompagnée des notes suivantes :

Pour obtenu par 3 mettez 70, pour obtenu par 5 mettez 21,

pour 1 obtenu par 7, écrivez 15, la somme est 106 ou davantage; soustrayez 105, et le reste est le résultat cherché.

Dans un commentaire qui date de la fin de la dynastie des Tsin, le calcul du développement est expliqué plus clairement. On prend le produit des trois diviseurs 3, 5, 7, et l'on obtient 105, appelé yen-mu ou développement premier. Si l'on divise le nombre par le premier nombre déterminé, ting-mu, qui est ici le nombre 7, le quotient 1 5 est le « nombre « de développement » ou yen-su. Ce nombre 15, divisé par 7, donne pour reste 1, c'est le « multiplicateur » ou tsching-suh; multiplié par le multiplicateur 15, il donne pour produit le nombre auxiliaire ou yeng-su, 15; on obtient de la même manière les autres nombres auxiliaires. 105 ou 21 est le second nombre de développement, donne pour reste 1, c'est le multiplicateur, et 21 × 1 ou 21 est le second nombre auxiliaire; de même 1035 qui, divisé par 3, donne pour reste 2, et le troisième nombre auxiliaire est 35 X 2 ou 70.

Cette règle, célèbre par sa difficulté, devait jouer un rôle important dans le calcul des périodes astronomiques. C'est un prêtre nommé Yihking qui, le premier, la fit servir à cet usage, vers la moitié du VIIIe siècle de notre ère. Le livre de Yih-king, nommé Ta-yen-lei-schu, a eu une grande célébrité et il a été plusieurs fois commenté.

Dans le premier chapitre il part des quatre premiers nombres 1, 2, 3, 4, pour calculer le nombre de développement 50 et le nombre auxiliaire 49; on forme avec ces nombres les produits sui

Ces produits sont ensuite disposés, comme nombres de développement, en deux séries, avec les quatre premiers nombres.

La somme des quatre derniers donne le grand nombre de développement 50; le produit de deux quelconques de ces nombres placés l'un au-dessus de l'autre forme toujours 24. Le nombre trouvé 50 ne peut pas servir directement de nombre auxiliaire dans la continuation du

calcul; c'est pourquoi les divers produits obtenus avec l'un quelconque des nombres principaux et le nombre de développement sont divisés par le diviseur commun 2, de telle sorte que, dans les deux séries suivantes, le produit d'un nombre principal avec le nombre de développement placé au-dessus de lui soit égal à 12, savoir :

Maintenant on retranche, autant qu'on le peut, du nombre de développement le nombre fondamental placé au-dessus, jusqu'à ce qu'on obtienne un reste (qui n'est jamais nul).

Dans la suite du calcul les restes sont employés comme multiplicateurs des nombres de développement trouvés en dernier lieu 12, 12, 4, 3, d'où résulte la série suivante :

Je ne pousserai pas plus loin la reproduction de la traduction allemande, que je ne parviens pas à comprendre. Ce calcul servait à interpréter l'avenir par des symboles numériques et formait une base arithmétique très-usitée pour la divination. Les nombres avaient des signes particuliers dans cet art, où ils servaient comme de clefs propres à ouvrir les secrets de l'avenir. Le nombre était représenté par deux traits tout entiers, le nombre 2 par un trait brisé, 3 par un trait entier, 4 par un trait entier et un trait brisé; et, de l'emploi de ces signes, résultaient des diagrammes fort employés par les devins, et dont l'origine demeure inconnue.

Le troisième chapitre traite du calcul du travail. Quatre sociétés, dont les mises sont différentes, entreprennent l'exécution d'une digue. Chaque société reçoit une égale part du travail; on ne connaît pas l'étendue de ce travail, mais seulement les prix disponibles pour chaque société et la partie laissée inachevée par elle; trouver quelle partie de la digue

a été achevée ?

Le quatrième chapitre traite des règles d'intérêt. Sept capitaux primitivement égaux sont diminués successivement par des traites de diverses quotités qui leur sont retirées chaque jour; on ignore la valeur primitive des capitaux et le nombre de jours pendant lesquels on a tiré les traites, mais on connaît la valeur de chaque traite et celle de la somme restante; calculer la valeur primitive.

Le cinquième chapitre contient le problème suivant : Trois agronomes possèdent chacun une égale quantité de blé qui a été acheté sur divers marchés, en faisant usage de diverses mesures connues, dont elles représentent des nombres entiers; l'excès sur un nombre exact de mesures normales étant connu, trouver la quantité de blé.

La seconde partie de l'ouvrage Tsin-kiu-tschaou traite exclusivement de calculs astronomiques; on y trouve la manière de déterminer la durée de l'année solaire et celle de diverses périodes astronomiques, les irrégularités des mouvements apparents des planètes et l'étude attentive des phénomènes naturels d'un autre ordre, tel que la chute de la neige et de la pluie, auxquels sont consacrés les quatre derniers chapitres.

L'ouvrage intitulé: Leih-tien-yuen-yih, c'est-à-dire «Exposition de la « monade céleste, » date de la fin du xe siècle; il contient un véritable traité d'algèbre, commenté plus tard par Le-yay-jin-king, dans son Miroir pour la mesure du cercle.

Le nombre ou monade, est considéré comme le représentant d'un nombre inconnu x; chaque puissance a un signe particulier que l'on écrit à la droite du coefficient, de manière à former des équations toutes semblables à celles que nous savons résoudre.

Pour indiquer la multiplication par une grandeur inconnue, on place le multiplicande une ligne plus haut; pour multiplier par le carré, deux lignes plus haut, et ainsi de suite.

Les mathématiciens chinois distinguent les nombres positifs des nombres négatifs, en écrivant les premiers avec de l'encre rouge et les derniers avec de l'encre noire. On retrouve cette méthode dans des écrits qui datent du vi siècle.

Un autre ouvrage de la même époque contient le développement des huit premières puissances du binôme, présentées comme des résultats anciennement connus, et comme «une vieille méthode» dont on ne peut dire quand elle a été trouvée; les coefficients successifs sont inscrits dans des lignes horizontales comme dans le triangle arithmétique de Pascal.