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la même que 17 107, & ainfi des autres. Les nombres entiers font à la gauche du point, & les décimales, proprement dites font à la droite. J'obferve ici qu'au lieu du point j'ai presque toujours employé une virgule.

Refte à donner quelques exemple dess opérations que l'on fait avec les décimales.

L'Addition fe fait comme avec les nombres entiers. En voici des exemples:

La Souftraction se fait auffi fur les décimales, comme fur les nom bres entiers. En voici des exemples:

La Multiplication par les décimales ne fouffre pas plus de diffi cultés que par les nombres entiers. En voici des exemples :

La Division est également facile. Voici des exemples:

186.0 512

66 215.5.

6 0

109.125 54.5
19 I 224.25

I 12

225

Les quatre opérations de l'Arithmétique fe font donc fur les décimales de la même maniere que fur les nombres entiers; néan

moins il faut observer 1°. que dans le produit de la Multiplication, il doit fe trouver autant de chifres ou autant de décimales à la droite du point ou de la virgule, qu'il s'en trouve dans le multiplicande & le multiplicateur; 2°. que dans la Division, le quotient doit contenir autant de décimales qu'il y en a plus dans le dividende que dans le divifeur; ce que l'on voit par les exemples précédens. Les exaltations des puiffances & les extractions des racines fe font fur les nombres décimaux, en fuivant les mêmes principes: telle eft une des méthodes numériques dont j'ai cru devoir faire ufage. La feconde méthode rendra les opérations encore plus faciles, puifqu'en s'en fervant, on fera par voie d'Addition & de Souftraction ce qu'on feroit obligé de faire par voie de Multiplication & de Division, en pratiquant les autres méthodes.

Les Logarithmes font les expofans d'une fuite de puiffances, ou, plus fimplement, les Logarithmes font une fuite de nombres en progreffion arithmétique, correfpondans à des nombres naturels & ordinaires qui font en progreffion géométrique. Par exem ple, dans les deux fuites ci-deffous,

o

la fuite fupérieure 1, 2, 4, 8, 16, &c. eft celle des nombres en progreffion géométrique; & la fuite inférieure 0, 1, 2, 3 ; 4, &c. eft celle des nombres en progreffion arithmétique, ou au trement, des Logarithmes. Si donc je veux faire ici une Multiplication par Logarithmes, par exemple, que je veuille multiplier 2 par 4, dont le produit eft 8, je prends les deux logarithmes correfpondans à 2 & 4, favoir 1 & 2; j'en fais la fomme qui eft 3, c'est le logarithme de 8. De même si je veux diviser 16 par 4, dont le quotient eft 4, je ne fais que retrancher de 4, qui est le logarithme de 16, le nombre 2, qui eft le logarithme de 4; & la différence 2 eft le logarithme du quotient 4 ; & ainfi des autres.

Si l'on veut élever un nombre à une puiffance, par exemple, le nombre 2 à la feconde puiffance ou au quarré, on prend fon logarithme qui eft un, on le multiplie par 2, expofant de la feconde puiffance; & le produit 2 eft le logarithme du quarré 4. Si on veut élever le même nombre 2 à la troifieme puiffance ou au cube, on multiplie par 3 le nombre ; & le produit 3 est le logarithme de 8, cube de 2.

H

Pareillement si je voulois extraire la racine quarrée du nombre 16, je diviserois par l'expofant 2 le logarithme 4 du quarré 16; & le quotient 2 feroit le logarithme de 4, racine quarrée de 16. Si je voulois extraire la racine cubique du nombre 8, je diviserois par 3, expofant de la puiffance, le logarithme 3 du cube 8; & le quotient i feroit le logarithme de 2, racine cubique de 8; & ainfi des autres.

Il a été libre dans la conftruction des Tables de Logarithmes d'employer telles progreffions géométrique & arithmétique que l'on a jugé à propos; cependant on a préféré, comme plus commode, la progreffion géométrique décuple 1, 10, 100, 1000, 10000, &c. & pour progreffion arithmétique celle des nombres naturels o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, &c. enforte que les deux progreffions ci-deffous,

l'on a eu

&c.

dont la fupérieure représente les nombres ordinaires, & la feconde les nombres artificiels, c'est-à-dire, les Logarithmes.

Parlà on voit 1°. que les nombres intermédiaires entre 1 & 10, favoir 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, n'ont pu avoir pour logarithmes que des fractions de l'unité; 2°. que les nombres compris entre 10 & 100 ont eu pour logarithmes le chifre 1, fuivi d'une fraction plus ou moins grande; 3. que les nombres compris entre 100 & 1000 ont eu pour logarithmes le nombre 2, fuivi également d'une fraction, &c.

Pour rendre les opérations plus faciles fur les logarithmes fractionnaires, on les a tous exprimés en fractions décimales: pour cela, on a donné aux nombres entiers o, 1, 2, 3, 4, 5, &c. des logarithmes, le nom de caractéristique, & on les a fait fuivre d'un certain nombre de zéros pour représenter les décimales en cette forte,

0.000000 ; 1.000000; 2.000000; 3.000000 &c. Quelques Calculateurs ont employé fix zéros pour indiquer les décimales; d'autres en ont employé fept, & d'autres huit, fuivant qu'ils ont voulu avoir des logarithmes plus ou moins rigoureufement exacts.

Nous avons donc à préfent les deux progreffions

1

10

100

1000

0.000000; 1.000000; 2.000000; 3.000000 &c. dont la fupérieure eft celle des nombres ordinaires, & l'inférieure celle des logarithmes. Ainfi o. oooooo eft le logarithme de 1; 1.000000 eft le logarithme de 10, &c. Les autres logarithmes des nombres intermédiaires entre 1 & 10, entre 10 & 100, entre 100 & 1000, &c. fe trouvent tous calculés fur ces principes dans les Tables de logarithmes, dont l'inspection seule tiendra lieu d'une plus ample explication (*).

-

1000

100

-

3.000000;

A l'égard des logarithmes des nombres moindres que l'unité, ils ont tous pour caractéristique des chifres négatifs, c'eft-à-dire, précédés du figne - qui fignifie moins; ainfi le logarithme de ou de o.1, eft 1.000000; le logarithme de ou de 0.01, eft - 2.000000; celui de ou de 0.001 eft & ainfi des autres. Mais les fractions intermédiaires entre 1 & auront pour logarithmes la caractéristique 1, fuivie de décimales pofitives; il en faut dire autant des logarithmes des fractions comprises entre &, qui feront compofés de la caractériftique 2, fuivie de décimales pofitives, &c. Tout ceci deviendra facile à entendre par des applications & des exemples.

19. L'on me propofe de multiplier 10 par 12 en me servant des logarithmes; pour cela, je cherche dans les Tables le logarithme de 10 & celui de 12, je les ajoute tous deux ensemble, & la fomme est le logarithme du produit 120 des deux nombres 10 & 12; ce qui fe fait ainsi :

1.000000 logar. de 10, multiplicande.
1.079181 logar. de 12, multiplicateur.

2.079181 logar. de 120, produit.

(*) Les Tables de logarithmes font aujourd'hui très multipliées. Nous en avons de plufieurs Auteurs; celles de Brigges, le premier qui en ait compofé d'après les principes de Nepper qui en eft l'inventeur; les grandes Tables d'Ulac, qui comprennent les logarithmes, des nombres depuis 1 jufqu'à 100000; celles de Gardiner, contenant les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 102100; celles de Rivard, qui contiennent les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 20000; les petites Tables d'Ulac & celles d'Ozanam, qui comprennent les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 10000; celles de M. de Parcieux & celles de M. l'Abbé de la Caille, qui comprennent les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 10800. Les Tables de M. l'Abbé de la Caille & celles que M. l'Abbé Marie, Profeffeur de Mathématiques au Collège des QuatreNations, vient de publier, font les plus portatives & les plus commodes pour des voyageurs depuis 1 jufqu'à 20000,

On peut obferver fur cet exemple qu'ajouter une unité à la caractéristique d'un logarithme, c'eft multiplier par 10 le nombre auquel il appartient; fi on y ajoutoit deux unités, on multiplieroit le nombre correfpondant par 100; fi on en ajoutoit trois on le multiplieroit par 1000, &c. Par le contraire, fi l'on retranche une unité de la caractéristique d'un logarithme, on divife par 10 le nombre auquel il appartient; on divife ce nombre par 100, fi l'on ôte deux unités de la caractéristique de fon logarithme, &c. 2o. Multiplier 19 par 23. Je prends dans les Tables les logarithmes de ces deux nombres, j'en fais la fomme que je trouve dans les Tables être le logarithme du nombre 437: c'eft le produit cherché; ce qui fe fait ainfi :

1.278754 log. 19, multiplicande.
1.361728 log. 23, multiplicateur.

2.640482 log. 437, produit.

30. Divifer 408 par 24. Je cherche dans les Tables de logarithmes, les logarithmes de ces deux nombres; je retranche le logarithme de 24 de celui de 408, & le refte est le logarithme du quotient 17; ce qui se fait ainsi :

2.610660 log. 408, dividende.
1.380211 log. 24, divifeur.

1.230449 log. 17, quotient.

4o. Les logarithmes des fractions décimales fe prennent dans les Tables comme ceux des entiers; feulement il faut avoir l'attention de retrancher de la caractéristique du logarithme tel qu'on le trouve dans les Tables, autant d'unités qu'il y a des décimales dans le nombre propofé. Par exemple, fi je défire d'avoir le logarithme de 4.5, ou, ce qui eft la même chofe, de 4 ; je cherche dans les Tables le logarithme de 45, lequel eft 1.653213; je retranche une unité de fa caractéristique, & il refte 0.653213; c'est le logarithme de 4.5 ou de 4. De même si je veux avoir le logarithme de 2.25, qui eft la même chose que 21, je prends dans les Tables le logarithme de 225, qui eft 2.352183; je retranche deux unités de la caractéristique, il refte 0.352183; c'est le logarithme de 2.25 ou de 2.

5. Lorfque les fractions ne font pas exprimées en décimales,