1) Hans Hartl, Übungsbuch für den Unterricht in der allgemeinen Arithmetik und Algebra an Werkmeisterschulen, Baugewerkenschulen und verwandten Lehranstalten. Mit gegen 3000 Aufgaben und deren Resultaten. Ausgabe für Deutschland. Leipzig und Wien 1896, Franz Deuticke. 160 S. 8. geb. 2 M.

Sorgfältig geordnete Sammlung von vorwiegend leichten Aufgaben, dazwischen ,,Übungen" zur Festigung des zuletzt und des früher erworbenen Könnens. Praktische Beispiele, Aufgaben aus der Mechanik, sind soviel wie möglich herangezogen. Druck und Ausstattung sind musterhaft.

2) Hugo Fenkner, Arithmetische Aufgaben. Unter besonderer Berücksichtigung von Anwendungen aus dem Gebiete der Geometrie, Physik und Chemie. Pensum der Ober-Sekunda der neunstufigen Anstalten. Zweite, auf Grund der preufsischen Lehrpläne vom Januar 1892 umgearbeitete Auflage. Braunschweig 1895, Otto Salle. 75 S. 8. 1 M.

Verf. hat seine 1890 erschienene und in dieser Zeitschrift 1891 S. 172 besprochene Sammlung arithmetischer Aufgaben, die für Tertia und Sekunda bestimmt war, nun in Abteilungen zerlegt. Der uns vorgelegte Teil entspricht der arithmetischen Lehraufgabe der Ober-Sekunda preufsischer Realgymnasien und Oberrealschulen. Für Gymnasien wären Zinseszins- und Rentenrechnung auszuschliefsen, während Wiederholungsaufgaben über Potenzen und Wurzeln, Gleichungen 1. Grades, 2. Grades mit einer Unbekannten nicht fehlen dürften. Die vom Ref. früher gemachten Ausstellungen sind fast sämtlich berücksichtigt, und die Anwendbarkeit dieses Teiles an realistischen Anstalten unterliegt m. E. nunmehr keinen Bedenken.

Mülheim a. d. Ruhr.

A. Emmerich.

B. Féaux, Lehrbuch der elementaren Planimetrie. Achte, den Lehrplänen von 1892 entsprechend verbesserte Auflage, besorgt durch Fr. Busch. Paderborn 1894, F. Schöningh VI u. 216 S. m. 215 Fig. 8. 2,50 M.

Das Buch ist mit Sachkenntnis und pädagogischem Takt geschrieben. Ich habe an demselben nur eine Ausstellung zu machen, welche allerdings schwerwiegend ist: die Anzahl der Lehrsätze und Beweise ist in allen Teilen des Systems zu grofs. Ein Lehrbuch kann nicht den Lehrplänen von 1892 entsprechend genannt werden, wenn es nicht zur Erfüllung der Forderung beiträgt, dafs „,nur die für das System notwendigsten Sätze eingeprägt und alle übrigen Gegenstände übungsweise behandelt werden". Wenn der Lehrer dieser Forderung genügen soll, so mufs er sich ein Lehrbuch wählen, welches ihn darin unterstützt.

Auf S. 11 steht der Lehrsatz,,Alle rechten Winkel sind einander gleich" mit dem Beweise: Die rechten Winkel sind die Hälften gleicher flachen Winkel, also Hälften gleicher Ganzen; mithin sind sie einander selbst gleich". Dieser einfache Beweis beweist noch mehr als die Richtigkeit des Lehrsatzes. Er beweist,

dafs es angezeigt wäre, den ganzen Lehrsatz mit Beweis als überflüssig wegzulassen. Entsprechendes gilt von dem Lehrsatze: ,,Die Summe zweier Nebenwinkel ist gleich zwei Rechten", welcher mit Annahme, Behauptung und Beweis dasteht. Gegen den Beweis selbst ist nichts zu sagen; er kann nicht einfacher geführt werden als mit den Worten:,,Die beiden Winkel bilden zusammen einen flachen Winkel oder zwei Rechte". Warum aber einen Beweis führen, der fast nichts weiter ist als die Wiederholung der Behauptung? Es würde vollständig genügen, hinter die Erklärung der Nebenwinkel den genannten Lehrsatz einfach als Folgerung aus dieser Erklärung anzufügen.

Ähnliche Vereinfachungen sind noch an manchen anderen Stellen durchzuführen. Die Erklärung der Winkel an parallelen Linien auf S. 13 kann verbessert werden. Der Lehrsatz über diese Winkel auf S. 14 sollte so weit vereinfacht werden, dafs die darunter stehende Bemerkung gegenstandslos wird. Die Behandlung der Kongruenz ist zu weitläufig. Die Sätze über Inkongruenz könnten ganz vermieden werden. Auf S. 71 steht der Lehrsatz:,,Gleiche Sehnen eines Kreises sind gleich weit vom Mittelpunkte entfernt" mit seiner Umkehrung, und der andere Satz:,,Ungleiche Sehnen sind vom Mittelpunkte ungleich weit entfernt, und zwar ist die kleinere Sehne die entferntere", ebenfalls mit der Umkehrung. Nun bedenke man, dafs unmittelbar nach der Kreislehre die Lehre von der Fläche der Figuren mit dem Pythagoreischen Lehrsatze folgt. Bis dahin kommen jene beiden Sätze mit ihren Umkehrungen nicht zur Verwendung, oder ihre Verwendung kann wenigstens so lange aufgeschoben werden. Nach dem Pythagoreischen Lehrsatze sind aber die in diesen Sätzen enthaltenen Wahrheiten das Ergebnis von Anwendungen, welche ohnedies zur Beleuchtung der Wichtigkeit des Pythagoreischen Satzes durchgenommen werden müssen. Man lasse also jene Sätze aus der Kreislehre weg, um sie übungsweise später vorzubringen, was ja genau den methodischen Bemerkungen zu den Lehrplänen entspricht. Auf S. 70 steht der Lehrsatz: ,,Ungleichen Sehnen eines Kreises entsprechen ungleiche Bogen, und zwar der gröfseren Sehne der gröfsere Bogen" mit seiner Umkehrung. Man könnte ohne diese Sätze, welche auch bei Euklid nicht vorhanden sind, gewifs um so eher auskommen, als schon in Untersekunda die Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks folgt, mit welcher man zu jeder Sehne den Bogen berechnet und umgekehrt. Jene Sätze sind alsdann dadurch erklärt, dafs der Sinus mit dem Winkel wächst, was man ja doch jedenfalls anschaulich machen mufs. Wenn man es für nötig hält, kann man an dieser letzten Stelle auch eine wirklich beweisende Bemerkung zufügen, ohne aber aus dieser so leicht verständlichen Sache einen Lehrsatz zu machen.

Auf diese Weise kann besonders die Kreislehre bedeutend vereinfacht und verkürzt werden. Diese Verkürzung wird noch

bedeutender, wenn der Kreis als geometrischer Ort für die Punkte gleichen Abstandes von einem gegebenen Punkte, sowie der Schnitt von einer Geraden mit einem Kreise und von zwei Kreisen von der Kreislehre abgetrennt werden, wie es nötig ist, wenn man den Konstruktionen von Dreiecken und den Fundamentalkonstruktionen eine feste Grundlage geben will. Über diesen Punkt habe ich, soweit er das Lehrbuch von Féaux betrifft, an einer anderen Stelle1) gesprochen und kann darauf verweisen. Für manche Lehrbücher bietet sich allerdings bei der Verkürzung der Kreislehre eine eigentümliche Schwierigkeit dar. In neuerer Zeit fängt man nämlich an, die mathematischen Lehrbücher nicht mehr in Planimetrie, Algebra, Trigonometrie und Stereometrie einzuteilen, sondern in: Pensum der Quarta, Pensum der Tertia b, der Tertia a u. s. w.". Nun ist in den preufsischen Lehrplänen die Kreislehre I. Teil nach Untertertia, die Kreislehre II. Teil nach Obertertia verlegt. Wenn nun aber die Kreislehre so gekürzt wird, wie man sie kürzen kann, um thatsächlich nur das Notwendige in das System aufzunehmen, so bleibt so wenig übrig, dafs kaum zwei Teile der Kreislehre herstellbar sind, die sich noch sehen lassen können. Es ist also leicht möglich, dafs die Verfasser von Lehrbüchern, welche diese neuere Abteilung des Stoffes geben, die Kreislehre nicht in demselben Grade vereinfachen mögen, als es geschehen kann, um in der äufseren Anordnung sich sichtbar genau an den Wortlaut der Lehrpläne anzuschliefsen. Meiner Ansicht nach ist aber diese äufsere Anordnung viel weniger wichtig als die methodische Bemerkung: Die Planimetrie ist so zu behandeln, dafs nur die für das System unentbehrlichsten Sätze eingeprägt und alle übrigen Gegenstände als Übungsstoff behandelt werden". Das Lehrbuch von Féaux hätte aber nicht nötig, in der Kürzung der Kreislehre eine willkürliche Grenze zu ziehen, weil dasselbe die Kreislehre nicht in zwei getrennte Teile zerlegt.

Wenn aber der Bearbeiter des Lehrbuches aus der Kreislehre und den anderen Teilen der Planimetrie alle entbehrlichen Sätze des Systems ausgeschieden haben wird, wodurch der Aufbau des Systems eine viel gröfsere Übersichtlichkeit erhält, so dürfte das Féauxsche Lehrbuch in hervorragender Weise dem Sinne der neuen Lehrpläne entsprechen, soweit dieser Sinn aus den Lehrplänen selbst und den methodischen Bemerkungen dazu entnommen werden kann. Nun kommt aber noch eine ganz andere Sache in Betracht. In seinen ,,Bemerkungen zu den Lehrplänen" sagt der Direktor Holzmüller, dafs die neuen preufsischen Lehrpläne den Übergang von der systematischen Behandlung zur propädeutischen, von der dogmatischen Lehrweise zu der genetischen in sich schliefsen. In den Lehrplänen selbst

1) Die Lehrpläne von 1892 und die mathematische Lehrweise in Preufsen. Metz 1896, G. Scriba.

steht hiervon nichts, und auch das Holzmüllersche Lehrbuch ist keine Bestätigung dieser Aussage. Es giebt aber viele Lebrer der Mathematik in Deutschland, welche wünschen, dafs die angeführte Äufserung Holzmüllers zutreffen möge, wenn sie in mafsvoller Weise ausgelegt wird. Die Reform des geometrischen Unterrichts nach der genetischen Seite hin zählt auch in Preufsen viele Anhänger. Ich bin aber weit entfernt, das Féauxsche Lehrbuch von dem Standpunkte dieser Umbildung der Unterrichtsweise aus zu beurteilen und habe an dem Buche gern gleich anfangs dasjenige anerkannt, was nach der bisherigen Lehrweise zu loben ist. Das Buch enthält noch zwei nützliche Anhänge. Der erste giebt als weitere Ausführungen der Planimetrie Betrachtungen über Dreieck stransversalen, Ähnlichkeitspunkte, Chordalen, harmonische Teilung, algebraische Geometrie und eine Zusammenstellung der geometrischen Örter. Der zweite Anhang giebt, den Lehrplänen entsprechend, eine zweckmäfsige Einführung in den Koordinatenbegriff und einige Grundlehren von den Kegelschnitten.

Metz.

Hubert Müller.

Hermann Schlag, Schul-Wandkarte von Deutschland im Jahre 1648 (nach dem westfälischen Frieden). Bearbeitet im kartographischen Institut der Verlagshandlung. Mafsstab: 1: 800 000. Glogau, Drack und Verlag von C. Flemming. Unaufgezogen 12 M.

Sowohl für den geschichtlichen als für den erdkundlichen Unterricht kommt diese grofse Wandkarte einem gewifs weit und breit gefühlten Bedürfnis entgegen. In technisch tadelloser Ausführung entrollt sie ein Bild der territorialen Aufteilung des Bodens unseres heutigen Reichs zur Zeit eines der entscheidungsvollsten Wendepunkte der vaterländischen Geschichte. Dadurch, dafs ein vielfarbiger, markiger Flächenfarbendruck zur Veranschaulichung der Einzelgebiete verwendet wurde, bewahrt die Karte selbst da die möglichste Übersichtlichkeit, wo (wie z. B. am Rhein) die staatliche Zersplitterung um jene Zeit einen entsetzlichen Grad erreicht hatte. Wo es ohne Schaden anging, sind, um die Buntheit nicht bis zum Übermafs zu steigern und dadurch den ruhigen Eindruck auf den Beschauer bedenklich zu stören, nahe zusammengehörige Staatsgebiete, so die ernestinischen in Thüringen, einfarbig bezeichnet. Ebenso zweckmäfsig dünkt die Hervorhebung der geistlichen Fürstentümer damaliger Zubehör zum deutschen Reich im Österreichischen (Salzburg, Trient) und die Mitangabe der habsburgischen Besitzungen um 1648 auch jenseit der Grenzen Mitteleuropas (Grafschaft Charolais an der Loire!) sowie die Angabe der staatlichen Gliederung Oberitaliens. Für das Verstehenlernen der Entwicklung der heutigen Staaten unseres Reichs und der Bekenntnisverteilung innerhalb desselben wird diese Karte gute Dienste leisten.

Halle a. S.

A. Kirchhoff.

DRITTE ABTEILUNG.

BERICHTE ÜBER VERSAMMLUNGEN, NEKROLOGE,
MISCELLEN.

Theodor Wehrmann.

Die Blätter, welche vor allem die Entwicklung des preufsischen Gymnasialwesens mit Teilnahme verfolgen, dürfen die Thätigkeit eines Mannes nicht unerwähnt lassen, der sich um die Ausgestaltung des höheren Schulwesens der Provinz Pommern 36 Jahre hindurch die gröfsten Verdienste erworben hat. Der am 28. November 1892 verstorbene Geh. Regierungsrat Dr. Th. Wehrmann trat zu einer Zeit in sein mafsgebendes Amt als Provinzial-Schulrat ein, in welcher der Drang nach höherer Bildung so grofs war, dafs während der ersten 25 Jahre seines Wirkens zu den vorhandenen 9 Gymnasien und 6 Real- oder höheren Bürgerschulen in Pommern 15 neue Anstalten hinzukamen. Es hatte sich also in der Provinz Pommern die Zahl der höheren Schulen verdoppelt. Als Wehrmann sein Amt übernahm, wirkten im ganzen 184 Lehrer an den höheren Schulen, mit der Zeit (schon 1881) war die Zahl auf 430 gestiegen. Die Arbeitslast hatte sehr wesentlich zugenommen, zumal wenn man seines Amtes so gewissenhaft waltete, wie es Wehrmann zu thun pflegte. Wie oft hat er mir versichert, dafs die Besetzung von Lehrer- oder Direktorenstellen ihm schlaflose Nächte gebracht, viele Reisen und Schreibereien aller Art verursacht hätte. Obwohl man, als er älter geworden, öfter den Vorschlag gemacht hatte, bei der wachsenden Last der Arbeit ihm eine Beihülfe zu gewähren, so hat er doch immer die an ihn herantretenden Anerbietungen zurückgewiesen und alles Amtliche selbst erledigt. Es unterstützte ihn eine aufserordentliche Geschäftsgewandtheit, und die grofse Klarheit und Schärfe des Geistes, mit der er sich leicht in alle praktischen und wissenschaftlichen Fragen hineinfand. Dazu kam eine genaue Kenntnis der Lehrerpersönlichkeiten, die an den höheren Schulen seines Verwaltungsbezirkes thätig waren. Die regelmäfsig von ihm abgehaltenen Abiturientenprüfungen, mit denen er fast immer den Besuch einiger Unterrichtsstunden verknüpfte, sodann die oft Tage andauernden gründlichen Revisionen der Anstalten, die er vorzunehmen pflegte, boten reiche Gelegenheit, den ganzen Betrieb des Unterrichts, wie er von den einzelnen Lehrern gehandhabt wurde, eingehend kennen zu lernen. Er versäumte nicht, in besonderen Konferenzen von seinen Beobachtungen genau Rechenschaft zu geben und auf die Fehler und Vorzüge hinzuweisen, die er bemerkt hatte. Bei der reichen Erfahrung, die er als Schulrat durch Beobachtung der Unterrichtsweise der verschiedensten Lehrer an den ihm unterstellten Anstalten gemacht hatte, war er in der Lage, Vorzüge und Mängel des Unterrichts mit sicherem Blick zu erkennen. Er besafs ein hervorragendes Geschick, Versammlungen zu leiten. Dies trat in den seit 1866 in regelmässigen Zwischenräumen abgehaltenen Direktorenkonferenzen glänzend hervor. Die