auffi entr'elles comme ces tems (52); de plus BC felon l'hypothèse représente la viteffe acquife après le tems AB; donc DE représente la viteffe acquife pendant le tems AD.

56. Si l'on conçoit le côté AB divifé en une infinité de parties égales, en autant qu'il y a d'inftans dans le tems AB, que par les points de divifion l'on imagine des lignes telles que DE,GH paralleles à BC,elles répréfenteront les viteffes acquifes depuis le premier inftant A jufqu'aux inftans auxquels ces paralleles répondent ; ainfi les paralleles DE, GH répréfentent les viteffes acquifes pendant les tems AD, AG ; & parce que les parties du tems font infiniment petites, l'augmentation de viteffe que le mobile reçoit dans chacune d'elles eft comme produite en un inftant & fans fucceffion: ainfi on peut regarder la viteffe de chaque inflant comme uniforme pendant cet inftant.

PROPOSITION. IV.

$75 L'espace qu'une force accélératrice conftante & infiniment petite fait parcourir pendant le tems AB [Fig.7.] eft répréfenté par le triangle ABC.

Démonftration. Le tems AB étant divifé en parties infiniment petites ou en inftans, le degré de viteffe que la force imprime au mobile à chaque inftant eft infiniment petit, puifqu'elle eft fuppofée elle-même infiniment petite; donc les paralleles DE,GH,BC, &c. qui représentent les viteffes acquifes après chaque tems étant prifes de fuite depuis la bafe jufqu'au fommet, ne fe furpaffent auffi de fuite que d'une partie infiniment petite; elles font donc infiniment proches les unes des autres, & rempliffent l'aire du triangle. Cela pofé, puifque le tems AB eft divifé en parties égales, les efpaces que le mobile parcourt dans deux inftans font entr'eux comme les viteffes acquifes à ces inftans, c'eft-à-dire, comme les paralleles correfpondantes; ainfi les efpaces parcourus aux inftans D, G font entr'eux comme les viteffes acquifes pendant les tems AD, AG, c'est-à-dire, comme les paralleles DE,GH (5); ces paralleles répréfentent donc les efpaces parcourus aux inftans

D,G; par une raison semblable les autres paralleles repréfentent les efpaces parcourus aux inftans correfpondans; donc la fomme des paralleles, c'est-à-dire, l'aire du triangle réprésente l'espace parcouru pendant le tems AB de l'açcélération.

58. Corollaire. Si le mobile perd fa viteffe par les mêmes degrés qu'il l'a acquife, il fera autant de tems à la perdre qu'il en a été à l'acquerir; & paffant de nouveau par les mêmes degrés de viteffe, il parcourra le même efpace qu'il a parcouru durant l'accélération; ainfi cet efpace eft représenté par le triangle ABC.

PROPOSITION V.

59. Deux forces accélératrices conftantes font entr'elles 1°. comme les viteffes qu'elles produifent en même-tems dans deux mobiles égaux. 2. Elles font aussi entr'elles comme leş efpaces qu'elles leur font parcourir en même-tems.

Premiere Partie. Puifque les mobiles font égaux, les forces font entr'elles comme les viteffes inftantanées qu'elles leur communiquent (45); de plus fi on multiplie ces viteffes par le tems de l'accélération qui eft le même pour l'un & l'autre mobile, l'on aura les viteffes acquifes pendant ce tems (52), lefquelles feront encore entr'elles comme les viteffes inftantanées (8. Arith.); donc les forces dont il s'agit qui font entr'elles comme les viteffes inftantanées, font auffi comme les viteffes que les mobiles acquierent durant le tems de l'accélération.

Si les maffes font inégales, les forces font entr'elles comme les quantités de mouvement qu'elles produifent en même-tems. Car fi les maffes étoient égales, les forces feroient entr'elles comme les viteffes produites en même-tems; mais fi la premiere force meut une maffe double ou triple, il faudra qu'à chaque inftant du mouvement elle faffe un effort deux, trois fois plus grand, pour communiquer à cette maffe double ou triple la même viteffe (47); ainfi pour avoir le rapport des forces conftantes, il faut multiplier les maffes qu'elles meuvent par les viteffes qu'elles leur commu

niquent en tems égaux; donc ces forces font entr'elles comme les quantités de mouvement qu'elles produifent en

même-tems.

II. Partie. Les efpaces que ces deux forces font parcourir font représentés par deux triangles rectangles dont les bafes repréfentent les viteffes acquifes, & les hauteurs, les tems (57); or felon l'hypothèse les tems font égaux; donc les triangles dont les hauteurs égalés repréfentent ces tems égaux, font entr'eux comme les bafes, c'est-à-dire, comme les viteffes acquifes (36. Géom. ); donc les efpaces parcourus font auffi entr'eux comme les viteffes acquifes; donc les forces qui font entr'elles comme ces viteffes (I. Partie) font auffi entr'elles comme les efpaces par

courus.

Du Mouvement en ligne droite compofé de plufieurs forces.

60. Le Mouvement compofé eft produit par plufieurs forces qui agiffent conjointement & en même-tems fur un corps.

61. Un corps qui eft tiré ou pouffé à la fois par deux puiffances peut être en repos ou en mouvement; il eft en repos fi les puiffances font égales, & directement oppofées: c'eft-là un axiome ou propofition évidente par elle-même. Mais le corps eft en mouvement 1°. fi les puiffances qui le tirent ou le pouffent en des fens directement oppofés font inégales, parce que la plus forte l'emporte fur la plus foible; 2°. fi les directions font un angle; car deux puiffances ne peuvent s'empêcher totalement ou fe détruire, fi leurs efforts ne font directement oppofés: ainfi le corps K étant pouffé à la fois par les puiffances M, N[fig. 8.] fuivant les directions CA, CB qui font l'angle ACB në peut être en repos, puifque l'effort fuivant CB ne peut point empêcher l'effort fuivant CA. 39. Il eft évident que le corps K qui eft tiré ou pouffé à la fois fuivant les directions CA, CB qui font l'angle ACB, n'eft mû ni fuivant CA, car la puiffance N l'en empêche; ni fuivant CB, parce que

la puiffance M s'y oppofe; le corps K eft donc mù suivant une direction CD moyenne entre les directions CA, CB: 4°. On démontre deux Propofitions fondamentales touchant les mouvemens compofés. La premiere eft que fi deux puiffances M, N font entr'elles comme les côtés CA, CB d'un parallelogramme AB formé fur leurs directions CA, CB elles font décrire au corps K la diagonale CD du parallelogramme AB, dans le tems que chacune d'elles lui feroit décrire le côté fuivant lequel elle le pouffe, par exemple, dans le tems que la puiffance M lui feroit décrire le côté CA, ou la puiffance N le côté CB. La feconde propofition eft l'inverfe de la premiere. Si le corps K étant tiré ou pouffé à la fois fuivant les directions CA, CB, qui font l'angle ACB, par les puiffances, M, N, décrit la diagonale CD du parallelogramme AB, les puiffances M, N font entr'elles comme les côtés CA, CB, & par conféquent elles feroient décrire au corps K, chacune le côté fuivant lequel elle le pouffe dans le tems qu'il décrit la diagonale. Pour plus de facilité on va premierement démontrer la feconde de ces Propofitions, & enfuite la premiere,

PROPOSITION VI.

62. Si le corps K [Fig. 8. ] décrit la diagonale CD du parallelogramme AB, les puiffances M, N font entr'elles comme les côtés CA, CB.

Suppofons que les Puiffances M, N font appliquées au corps K pendant l'inftant qu'il décrit la partie infiniment petite Cp de la diagonale CD, leurs directions étant toujours paralleles à CA, CB, il eft évident que le centre Carrivant en p, pG parallele à CA eft pour lors la direction de la puiffance M, & Ep parallele à CB la direction de la puiffance N. Cela pofé, fi la puiffance M avoit agi feule fur le corps K, dans le tems qu'il eft allé de C en p, il feroit allé à quelque point de la direction CA ; donc puifqu'il eft en p, il faut que la puiffance N l'ait écarté de la direction CÅ; cette puiffance a donc agi comme fi elle avoit fait venir le mobile de E en p, & qu'elle lui eût fait parcourir Ep:

pareillement la puiffance M a agi comme fi elle avoit fait venir le mobile de G en p & qu'elle lui eut fait parcourir Gp, donc les efforts des puiffances M, N font entr'eux comme Gp, Ep, ou leurs égales CE, Ep (46, 5): or les triangles femblables CEp, CAD donnent CE. Ep: : CA. AD ou CB (8. Géom.), c'eft-à-dire, que les efforts des puiffances M, N ou les puiffances elles-mêmes font entr'elles comme les côtés CA, CB du parallelog. AB.

63. Coroll. Il est évident que l'effort compofé fuivant CD eft aux puiffances M, N, comme la diagonale CD eft aux côtés CA, CB: car tandis que par l'effort compofé le corps K décrit Cp, les puiffances M, N lui feroient décrire CE, Ep (62.); donc l'effort compofé eft aux puiffances M, N comme Cp eft à CE, & Ep; (46. n. 2.) or ces trois lignes font entr'elles comme CD, CA, & AD ou CB (8. Géom.); donc l'effort compofé & les puiffances M, N font dans la raifon de ces trois lignes. Donc le corps K décriroit ces trois lignes en tems égaux par les efforts dirigés fuivant ces mêmes lignes (46.n. 3.) ̈

PROPOSITION VII.

24

64. Si les puiffances M, N font entr'elles comme les côtés CA, CB du parallelogramme AB formé fur leurs directions CA, CB[Fig. 8.] elles font décrire par leur effort compofé, au corps K la diagonale CD dans le tems que chacune lui feroit décrire le côté qui eft fur fa direction. Si cela n'arrivoit point, ce feroit parce que les puiffances M, N feroient ou trop grandes ou trop petites; fi cela eft, fuppofons en deux qui par leur effort compofé puiffent faire décrire au corps K'la diagonale CD dans le tems que les puiffances M, N lui feroient décrire chacune le côté fuivant lequel elle le pouffe, ce qui eft toujours poffible, puifqu'il fuffit pour cela d'augmenter ou de diminuer les puiffances M, N: or les puiffances fuppofées en faisant décrire au corps K la diagonale CD feroient des efforts égaux aux puiffances M, N; car par ces efforts elles feroient dé crire au corps K les côtés CA, CB tandis que par leur ef