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DES SURFACES

DONT

TOUTES LES LIGNES DE COURBURE SONT PLANES

PAR M. V. ROUQUET 1

INTRODUCTION.

1. L'objet du présent travail est d'exposer les équations relatives aux surfaces dont les lignes de courbure sont planes dans les deux systèmes, sous une forme et avec des calculs plus simples que ceux des auteurs qui se sont occupés de cette recherche en développant les méthodes de MM. O. Bonnet 2 et J. Serret 3.

Déjà, dans un mémoire antérieur, j'ai donné une construction géométrique de ces surfaces, ainsi que des surfaces beaucoup plus générales dont les lignes de courbure sont planes pour un système seulement.

L'étude actuelle se distingue de la précédente en ce qu'elle est purement analytique, du moins si l'on admet certaines propositions qui peuvent être regardées comme classiques et que je rappelle, d'ailleurs, en commençant.

4. Lu dans la séance du 23 décembre 1886.

2. Journal de l'École polytechnique, tome XX.

3. Journal de mathématiques, 4re série, tome XVIII. 4. Thèse de doctorat. Montpellier, 1882.

Voici le résumé des principaux résultats contenus dans ce travail.

En premier lieu, je trouve les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de la surface la plus générale dont toutes les lignes de courbure sont planes, en fonction des paramètres caractéristiques des lignes de courbure, c'est-à-dire de deux variables u et v telles que ces lignes de courbure correspondent, pour un système, aux valeurs constantes de u, et, pour l'autre, aux valeurs constantes de v.

En second lieu, je donne, en fonction des mêmes paramètres, les rayons de courbure principaux et les coordonnées des centres. de courbure principaux, ce qui fournit les développées des surfaces étudiées.

J'applique enfin les formules obtenues aux enveloppes de sphères, aux surfaces-moulures et, dans un dernier paragraphe, aux surfaces à courbure moyenne nulle.

2. Les propriétés bien connues sur lesquelles repose l'analyse qui va suivre sont relatives à la représentation sphérique des surfaces d'après la méthode de Gauss. Dans cette représentation, on fait correspondre, deux à deux, les points d'une surface donnée et ceux d'une sphère pour lesquels les plans tangents sont parallèles, et l'on appelle image sphérique d'une ligne tracée sur la surface proposée, le lieu des points de la sphère qui correspondent, d'après la définition précédente, à ceux de la ligne considérée.

Ceci posé, pour qu'une ligne tracée sur une surface soit une ligne de courbure de celle-ci, il faut et il suffit que les éléments de cette ligne soient parallèles aux éléments correspondants de son image sphérique.

Il en résulte immédiatement que l'image sphérique du réseau formé par les lignes de courbure d'une surface est un réseau orthogonal, comme le premier. On lui donne quelquefois le nom d'image sphérique de la surface elle-même.

Ces propriétés, dont nous aurons à faire usage, sont des conséquences évidentes de la définition ordinaire des lignes de courbure. Elles entraînent, à leur tour, les propriétés suivantes, qui sont pareillement fort importantes pour notre objet.

1° L'image sphérique d'une ligne de courbure plane est un

cercle dont le plan est parallèle au plan de cette ligne, et réciproquement, toute ligne de courbure dont l'image sphérique est circulaire est contenue dans un plan parallèle au plan du cercle.

2o Pour que les lignes de courbure d'une surface soient planes dans les deux systèmes, il faut et il suffit que l'image sphérique de ces lignes de courbure soit formée par un double réseau de cercles orthogonaux1.

3. Tout réseau sphérique de cercles orthogonaux est constitué par deux familles de cercles, dont les plans passent par deux droites fixes, polaires réciproques par rapport à la sphère, c'est-à-dire par deux droites H et H' qui sont perpendiculaires entre elles, et dont les distances au centre de la sphère, nécessairement comptées sur un même diamètre, donnent un produit constant égal au carré du rayon. De ces deux droites, l'une H est extérieure à la sphère et l'autre H', la coupe.

Cette construction géométrique est la conséquence de ce que la condition nécessaire et suffisante pour que deux cercles traces sur une même sphère se coupent à angles droits, est que le sommet du cône circonscrit à la sphère suivant l'un des cercles appartienne au plan de l'autre cercle.

Un corollaire intéressant de la proposition précédente est celui-ci. Lorsque toutes les lignes de courbure d'une surface sont planes, les plans des lignes de courbure sont, dans chaque système, parallèles à une droite fixe, et les deux droites relatives aux deux systèmes sont rectangulaires. En d'autres termes, si les lignes de courbure d'une surface sont planes dans les deux systèmes, les plans des lignes de chaque système enveloppent un cylindre, et les deux cylindres enveloppés ont leurs génératrices à angle droit. Ces génératrices sont d'ailleurs parallèles aux droites H et H' relatives à l'image sphérique.

En résumé, la recherche des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes est ramenée à trouver les surfaces dont les lignes de courbure ont pour image sphérique l'un des réseaux de cercles orthogonaux qui viennent d'être définis.

1. Pour la démonstration détaillée de ces propositions et de celles qui suivent, on peut consulter le Traité de calcul différentiel, de M. J. Bertrand, p. 728.

4. Le cas des surfaces développables n'est pas compris dans ce qui précède, car toutes les lignes d'une surface développable ont la même image sphérique. Mais, dans ce cas, la solution du problème que nous nous sommes proposé ne présente aucune difficulté. L'on sait effectivement que celles de ces surfaces dont les lignes de courbure sont planes ne sont autres que les hélicoïdes développables.

§ 1. Expression des coordonnées d'un point de la sphère en fonction des paramètres d'un réseau de cercles orthogonaux.

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5. Rapportons la sphère, dont nous prendrons le rayon pour unité de longueur, à trois diamètres rectangulaires, tels que l'axe Ox soit dirigé suivant la perpendiculaire commune aux droites H et H', l'axe des z étant le diamètre parallèle à la droite H extérieure à la sphère, tandis que l'axe des y est parallèle à H'.

Soient A et A' les points de rencontre de Ox avec H et H'.

D'après ce qui a été vu (no 3), le produit OA OA' est égal au carré du rayon, c'est-à-dire à l'unité. Le point A' étant, par hypothèse, intérieur à la sphère, on pourra poser

OA' cos k, ОА =

1 cos k

la constante k définissant ainsi le réseau orthogonal considéré. 6. Formules. On aura, sans ambiguïté, les coordonnées x, y, z, d'un point quelconque de la sphère, en fonction des paramètres u et v des cercles contenant ce point, à l'aide des formules suivantes :

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dont la signification résulte des explications ci-après.

1o La lettre u désigne une variable pouvant prendre toutes les valeurs de ȧ + et qui entre dans les formules (1) par ses lignes hyperdoliques définies, comme on sait, par les relations

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2o La lettre v représente un angle qu'il suffit de faire varier de o a 2π.

3o Les cercles dont les plans passent par la droite extérieure H correspondent aux valeurs constantes de u, et l'équation générale de leurs plans est

(2)

y=

tg hu
(1
sin k

x cos k).

4o Les cercles dont les plans contiennent la droite H' correspondent, au contraire, aux valeurs constantes de v, et l'équation générale de leurs plans.

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5o L'équation du plan tangent au point (u, v) de la sphère, c'est-à-dire au point dont les coordonnées sont fournies par les valeurs u et v de ces paramètres, est

x(cos hu cos k

(4)

cos v) y sin k sin hu + z sin k sin v = cos hu

cos k cos v.

6o Le carré de l'élément linéaire de la sphère, c'est-à-dire de la distance de deux points infiniment voisins (u, v), (u + du, v dv), est donné par la formule

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d'où l'on tire cette conséquence que e réseau de cercles est isométrique.

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