pour lesquelles les lignes (u) sont circulaires. Dans ce cas, les plans des lignes (v) passent, comme nous l'avons vu, par la droite fixe dont les équations sont

Prenons cette droite pour axe des y, ce qui ne changera pas la forme des valeurs obtenues, d'après la remarque précédemment rappelée. On aura alors a =0, a'o, et, par suite, Va". Mais le second membre de l'équation du plan tangent étant UV, on pourra mettre cette constante dans la fonction U et supposer nulle la fonction V. On arriverait à la même conclusion pour la fonction U, dans le cas où les lignes (v) seraient circulaires.

Ainsi, les formules relatives aux surfaces enveloppes de sphères dont les lignes (u) sont circulaires se déduisent des formules générales en faisant Vo, pourvu que l'axe des y soit la droite fixe par laquelle passent les plans des lignes (v). De même, l'hypothèse Uo correspond aux surfaces enveloppes de sphères dont les lignes (v) sont circulaires, l'axe des z étant la droite fixe par laquelle passent les plans des lignes (u).

27. Considérons le cas particulier dans lequel les lignes de courbure sont des cercles dans chaque système. La surface est alors, comme on sait, une cyclide de Dupin. Les plans des lignes de courbure passent par deux droites fixes L et L'. Si ces droites se coupent, on pourra les prendre pour axes des z et des y, et l'on aura

U + V = c,

c désignant une constante. Dans les formules générales, on fera nulle l'une des fonctions et l'on égalera l'autre à c. Si les droites Let L' ne se coupent pas, on pourra prendre pour axe des x leur perpendiculaire commune, et, pour origine, le milieu de la plus courte distance. On aura alors

U+Va(cos hu cos kcos v) + c,

en faisant usage des équations des droites fixes écrites ci-dessus. Cette cyclide correspond donc aux valeurs

Nous n'insisterons pas davantage sur les cyclides qui ont été étudiées par un grand nombre de géomètres.

28. Formes des fonctions U ou V dans le cas spécial. La méthode à suivre est la même que dans le cas général. Cherchons la condition pour que les lignes (u), par exemple, soient circulaires. Il faut écrire que les valeurs de Eu, Gu, u sont indépendantes de v, ce qui donne les conditions suivantes déduites des formules (19)':

a, a' et a" désignant des constantes. Elles fournissent les valeurs compatibles

Vav2+2a'v + a",
V'2av + 2a',

V" 2a.

Les plans des lignes (v) dont l'équation générale est

2vx + 2z =V'

passent, dans ce cas, par une droite fixe dont les équations sont

x = α, % = a'.

Si l'on prend cette droite pour axe des y, les valeurs des constantes a et a' seront nulles et l'on aura Va". On pourra, comme on l'a fait précédemment, adjoindre cette constante à la fonction U et faire V0.

Ainsi, dans le cas spécial comme dans le cas général, les enveloppes de sphères correspondent aux valeurs nulles des fonctions

V ou U, pourvu que l'axe des y, ou l'axe des z, coïncide avec la droite par laquelle passent les plans des lignes de courbure non circulaires.

Dans le cas des cyclides, on prendrait les axes comme ci-dessus et l'on aurait

La cyclide ayant pour image sphérique un réseau de cercles orthogonaux tangents entre eux par famille est une surface du troisième degré, tandis que la cyclide générale est du quatrième degré.

24. Génération des surfaces enveloppes de sphères dont toutes les lignes de courbure sont planes. Nous déduirons la construction géométrique de ces surfaces de la considération des sphères enveloppées.

Le centre de la sphère qui touche la surface suivant un cercle de courbure est évidemment le centre principal de courbure relatif à tous les points de ce cercle.

Supposons, par exemple, que les lignes (u) soient circulaires, auquel cas on doit faire Vo. Les formules (19) deviennent

On voit par là que le lieu des centres des sphères enveloppées est une courbe plane contenue dans le plan des xy. De plus, la formule (20) donne

Il en résulte que le rayon de chaque sphère enveloppée est proportionnel à la distance de son centre à l'axe Oy, c'est-à-dire à la droite par laquelle passent les plans des lignes (v).

La réciproque est vraie. Pour cela, il suffit de démontrer qu'étant donné une courbe arbitraire dans le plan des xy, on peut déterminer la fonction U de u, de manière que les équations de cette courbe reproduisent les valeurs de et écrites ci-dessus. Or, si l'équation de cette courbe, lieu des centres des sphères, est

f(x, y) = 0,

on aura, pour déterminer U, l'équation différentielle obtenue en remplaçant et y par les valeurs de et, de sorte que l'intégration de cette équation fournira U.

Dans le cas où les lignes (v) sont circulaires, on arrive aux mêmes conclusions; seulement la courbe lieu des centres des sphères est dans le plan des zx. Il y a encore proportionnalité entre les rayons des sphères et les distances de leurs centres à l'axe des 2. Quant au coefficient de proportionnalité qui est dans le premier cas, il est égal à cos k dans le second. Cela résulte de l'égalité

1

cos k

qui a lieu pour U≤0.

cos k,

Lorsque l'image sphérique est constituée par le réseau spécial, on retrouve encore les mêmes propriétés. Dans ce cas, le coefficient de proportionnalité est égal à l'unité.

En résumé, on peut donc énoncer la proposition suivante donnée, en partie, par M. Paul Serret (l. c).

Toute surface enveloppe de sphères dont les lignes de seconde courbure sont planes est l'enveloppe d'une sphère dont le centre parcourt une ligne plane de forme arbitraire, et dont le rayon est proportionnel à la distance de son centre à une droite fixe située dans le plan de la courbe Alors :

1o Les lignes de seconde courbure sont les sections de la surface par les plans contenant cetle droite.

20 L'image sphérique de la surface est constituée par un réseau de cercles orthogonaux, tel que les cercles de ce réseau qui correspondent aux cercles de courbure de la surface

passent par celle des droites Hou H' dont la distance au centre et le rayon de la sphère présentent un rapport égal au coefficient de proportionnalité donné.

Lorsque ce coefficient de proportionnalité est égal à l'unité, l'image sphérique de la surface est formée de cercles orthogonaux langents entre eux par famille.

30. Cas des surfaces-moulures. - C'est Monge qui a défini, le premier, les surfaces-moulures générales, en les considérant comme les surfaces dont les normales touchent une développable donnée.

Monge a démontré (Application de l'analyse à la géométrie) que les surfaces de cette sorte sont engendrées par une courbe plane de forme arbitraire dont le plan roule, sans glisser, sur la développable proposée en entraînant cette courbe. Les différentes positions de la génératrice sont les lignes de première courbure de la surface, que leurs plans coupent orthogonalement, et les lignes de seconde courbure sont les trajectoires des différents points de la courbe mobile.

Réciproquement, lorsque les lignes de courbure d'une surface. sont planes, pour un système, et que leurs plans coupent normalement cette surface, celle-ci rentre dans le cas précédemment examiné. (Voir le Traité de calcul différentiel, de M. J. Bertrand, pp. 724 et suiv.).

Nous rappellerons encore au sujet de ces surfaces de Monge que l'illustre auteur a fait connaître un second mode de génération, qui justifie la dénomination de surfaces-moulures qu'on leur a donnée, et d'après lequel toute surface de cette sorte est le lieu des positions successives d'un profit arbitraire, mais constant, poussé normalement sur une développable quelconque, de façon que deux points du profil décrivent deux lignes de courbure de la développable donnée.

31.

Il s'agit actuellement de définir celles de ces surfacesmoulures dont toutes les lignes de courbure sont planes.

Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire et suffisant que l'image sphérique soit constituée par des grands cercles ayant un diamètre commun, et par les petits cercles dont les plans sont perpendiculaires à ce diamètre.