Pareillement fi je voulois extraire la racine quarrée du nombre 16, je diviferois par l'expofant 2 le logarithme 4 du quarré 16; & le quotient 2 feroit le logarithme de 4, racine quarrée de 16. Si je voulois extraire la racine cubique du nombre 8, je diviserois par 3, expofant de la puiffance, le logarithme 3 du cube 8; & le quotient i feroit le logarithme de 2, racine cubique de 8; & ainfi des autres.

Il a été libre dans la conftruction des Tables de Logarithmes d'employer telles progressions géométrique & arithmétique que l'on a jugé à propos; cependant on a préféré, comme plus commode, la progreffion géométrique décuple 1, 10, 100, 1000, 10000, &c. & pour progreffion arithmétique celle des nombres naturels o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, &c. enforte que l'on a eu les deux progreffions ci-dessous,

dont la fupérieure repréfente les nombres ordinaires, & la feconde les nombres artificiels, c'est-à-dire, les Logarithmes.

Parlà on voit 1°. que les nombres intermédiaires entre 1 & 10, favoir 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, n'ont pu avoir pour logarithmes que des fractions de l'unité; 2°. que les nombres compris entre 10 & 100 ont eu pour logarithmes le chifre 1 I fuivi d'une fraction plus ou moins grande ; 3°. que les nombres compris entre 100 & 1000 ont eu pour logarithmes le nombre 2, fuivi également d'une fraction, &c.

I

,

Pour rendre les opérations plus faciles fur les logarithmes fractionnaires, on les a tous exprimés en fractions décimales pour cela, on a donné aux nombres entiers o, 1, 2, 3, 4, 5, &c. des logarithmes, le nom de caractéristique, & on les a fait fuivre d'un certain nombre de zéros pour repréfenter les décimales en cette forte,

0.000000; 1.000000; 2.000000; 3.000000 &c.

Quelques Calculateurs ont employé fix zéros pour indiquer les décimales; d'autres en ont employé fept, & d'autres huit, fuivant qu'ils ont voulu avoir des logarithmes plus ou moins rigou

reusement exacts.

Nous avons donc à préfent les deux progreffions

I

10

100

1000

,

0.000000 ; 1.000000; 2.000000 ; 3.000000 &c. dont la fupérieure eft celle des nombres ordinaires, & l'inférieure celle des logarithmes. Ainfi o. 006000 eft le logarithme de 1; 1.000000 eft le logarithme de 10, &c. Les autres logarithmes des nombres intermédiaires entre 1 & 10, entre 10 & 100, entre 100 & 1000, &c. fe trouvent tous calculés fur ces principes dans les Tables de logarithmes, dont l'inspection seule tiendra lieu d'une plus ample_explication (*).

A l'égard des logarithmes des nombres moindres que l'unité ils ont tous pour caractéristique des chifres négatifs, c'est-à-dire précédés du figne - qui fignifie moins; ainfi le logarithme de ou de o.1, eft - 1.000000; le logarithme de ou de 0.01, eft - 2.000000; celui de ou de 0.001, eft

1000

-

1

100

3.000000;

& ainfi des autres. Mais les fractions intermédiaires entre 1 & auront pour logarithmes la caractéristique 1, fuivie de décimales pofitives; il en faut dire autant des logarithmes des fractions comprises entre &, qui feront compofés de la caractéristi 2, fuivie de décimales pofitives, &c. Tout ceci deviendra facile à entendre par des applications & des exemples.

que

19. L'on me propofe de multiplier 10 par 12 en me fervant des logarithmes; pour cela, je cherche dans les Tables le logarithme de 10 & celui de 12, je les ajoute tous deux enfemble, & la fomme est le logarithme du produit 120 des deux nombres 10 & 12; ce qui fe fait ainsi :

1.000000 logar. de 10, multiplicande.
1.079181 logar. de 12, multiplicateur.

2.079181 logar. de 120, produit.

(*) Les Tables de logarithmes font aujourd'hui très-multipliées. Nous en avons de plufieurs Auteurs; celles de Brigges, le premier qui en ait compofé d'après les principes de Nepper qui en eft l'inventeur; les grandes Tables d'Ulac, qui comprennent les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 100000; celles de Gardiner, contenant les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 102100; celles de Rivard, qui contiennent les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 20000; les petites Tables d'Ulac & celles d'Ozanam, qui comprennent les logarithmes des nombres depuis 1 jusqu'à 10000; celles de M. de Parcieux & celles de M. l'Abbé de la Caille, qui comprennent les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 10800. Les Tables de M. l'Abbé de la Caille & celles que M. l'Abbé Marie, Profeffeur de Mathématiques au College des QuatreNations, vient de publier, font les plus portatives & les plus commodes pour des voyageurs depuis i jusqu'à 20000.

On peut obferver fur cet exemple qu'ajouter une unité à la caractéristique d'un logarithme, c'eft multiplier par 10 le nombre auquel il appartient; fi on y ajoutoit deux unités, on multiplieroit le nombre correfpondant par 100; fi on en ajoutoit trois on le multiplieroit par 1000, &c. Par le contraire, fi l'on retranche une unité de la caractéristique d'un logarithme, on divife par 10 le nombre auquel il appartient; on divife ce nombre par 100, fi l'on ôte deux unités de la caractéristique de fon logarithme, &c. 2o. Multiplier 19 par 23. Je prends dans les Tables les logarithmes de ces deux nombres, j'en fais la fomme que je trouve dans les Tables être le logarithme du nombre 437: c'eft le produit cherché, ce qui fe fait ainsi :

1.278754 log. 19, multiplicande.
1.361728 log. 23, multiplicateur.

2.640482 log. 437, produit.

3o. Divifer 408 par 24. Je cherche dans les Tables de logarithmes, les logaritlimes de ces deux nombres; je retranche le logarithme de 24 de celui de 408, & le refte est le logarithme du quotient 17; ce qui fe fait ainsi :

2.610660 log. 408, dividende.
1.380211 log. 24, divifeur.

1.230449 log. 17, quotient.

4o. Les logarithmes des fractions décimales fe prennent dans les Tables comme ceux des entiers; feulement il faut avoir l'attention de retrancher de la caractéristique du logarithme tel qu'on le trouve dans les Tables, autant d'unités qu'il y a des décimales dans le nombre propofé. Par exemple, fi je défire d'avoir le logarithme de 4.5, ou, ce qui eft la même chofe, de 4 ; je cherche dans les Tables le logarithme de 45, lequel eft 1.653213; je retranche une unité de fa caractéristique, & il refte 0.653213; c'eft le logarithme de 4.5 ou de 4. De même si je veux avoir le logarithme de 2.25, qui eft la même chofe que 24, je prends dans les Tables le logarithme de 225, qui eft 2.352183; je retranche deux unités de la caractéristique, il refte 0.352183; c'eft le logarithme de 2.25 ou de 2

5. Lorfque les fractions ne font pas exprimées en décimales,

on en trouve également les logarithmes. Par exemple, que l'on veuille avoir le logarithme de 4, qui eft la même chose que 2, on prend le logarithme de 9, qui eft 0.954243, dont on retranche le logarithme de 2, qui eft 0.301030; le refte 0.653213 est le logarithme de 4 ou de 4.5, comme nous l'avons déja trouvé. De même le logarithme de 24 ou de 2 fe trouve, en retranchant de 0.954243, logarithme du numérateur 9, le logarithme 0.602060 du dénominateur 4; & la différence 0.352183 eft le logarithme de 2, comme ci-dessus. Le logarithme de 4 fe trouvera en cherchant celui de 25 & en retranchant deux unités de fa caractéristique, ou bien en prenant le logarithme 1, qui eft 0.000000, & en retranchant le logarithme de 4, qui est 0.602060: par l'une & l'autre méthode on trouvera que le logarithme deeft également 1.397940. Il en eft de même des logarithmes de toutes les autres fractions.

69. Par-là on voit que les fractions, ordinairement fi pénibles par les nombres ordinaires, deviennent extrêmement faciles par les logarithmes; nous en ajouterons des exemples.

28

Multiplier 451 ou 45.28 par 33 ou 33.5. Voici la folu

tion:

100

1.655906 log. 45.28, multiplicande.

1.525045 log. 33.5., multiplicateur,

3.180951 log. 1516.88, produit.

Multiplier 24 parou 0.25. Solution.

1.380211 log. 24, multiplicande.
1.397940 log. 0.25, multiplicateur.
0.778151 log. 6, produit.

Nous avons déja dit que pour élever un nombre à fon quarré il falloit multiplier par 2 le logarithme de ce nombre, & que le produit, étoit le logarithme du quarré; que pour extraire la racine quarrée d'un nombre, il falloit divifer par 2 le logarithme de ce nombre, & que le quotient feroit le logarithme de la racine ; que pour élever un nombre au cube, il falloit multiplier par 3 le logarithme de ce nombre; que pour extraire la racine cubique d'un nombre, il falloit diviser par 3 le logarithme de ce nombre: nous ajoutons qu'en général on trouvera le logarithme d'une puiffance quelconque, en multipliant le logarithme de la racine l'expofant de la puiffance, & que réciproquement on trouvera le logarithme d'une racine quelconque, en divifant le logarithme de la puiffance par l'expofant de la racine que l'on veut extraire. Nous allons donner des exemples de tous ces cas.

Elever 12 à fon quarré. Solution.

1.079181 log. 12.

par

Solution.

21.079181 log. 12, racine de 144.

Extraire la racine quarrée de ou 0.25. Solution.