cher dans les Tables la Tangente de l'angle A & fa Sẻcante, & on pourra les comparer l'une & l'autre aux lignes BC & AC, en même tems qu'on comparera le Sinus total ou le rayon au côté A B. On pourra même faire cette régle de Trois ou analogie, la Sécante de l'angle A eft à AC, comme la Tangente du même angle A eft à B C. Cette analogie eft légitime; parce que B Ceft Tangente de l'angle A, pendant que AC en eft la Sécante. Mais on tâche, le plus qu'on peut, de mettre toujours dans ces fortes de calculs le Sinus total au premier terme des régles de Trois, parce que c'eft le moyen de s'épargner la peine de faire la division. En effet lorfqu'on a multiplié les deux derniers termes l'un par l'autre, & qu'il ne reste plus qu'à diviser par le Sinus total, il fuffit pour faire cette divifion par une maniére abrégée, de retrancher autant de chiffres vers la droite, qu'il y a de zéros dans le Sinus total, & on a le quotien à gauche. Lorfque nous avons eu à faire cette régle de Trois, le Sinus total 100000 eft à 350 pieds comme 76417 eft à A B; le produit de 350 par 76417 s'eft trouvé de 26745950; & fi on en retranche les cinq derniéres figures, parce qu'il y a cinq zéros dans 100000, il vient 267 au quotien,& le refte 45950 comparé au divifeur 100000 vaut un peu moins d'un demi: il vaut affez exactement

23

Trouver la largeur du Pas de Calais par la
Trigonométrie.

(Voyez Figure 35.)

91. Pour donner une application remarquable des régles précédentes, nous rapporterons ici l'opération par laquelle Mr Picard & de la Hire déterminérent la largeur du Pas de Calais, qui eft l'endroit le plus étroit de la Manchẹ ou du Canal qui fépare la France de l'Angleterre. Ils mefurerent,fur la Grêve,en commençant à la pointe du Baftion du Figure 35. Rifban de Calais, une base CB (Fig. 35.) de 2500 toifes de

longueur, ou de 15000 pieds de Roy. Ils prirent ensuite avec un inftrument exact la mesure des angles C & B, en vifant des deux points de ftation, au milieu des deux tours les plus apparentes du Château de Douvre. Ils trouverent l'angle en C de 37. 58. & l'angle en B de 137. 30 m. Ainfi l'angle à Douvre qui eft le refte à 180 degrez, puifque les trois angles d'un triangle forment toujours le demi-cercle, étoit de 4 d. 32". & c'eft donc la valeur de l'angle D. Cela fuppofé, il ne reftoit plus qu'à chercher dans les Tables les Sinus des angles B & D, & à faire cette analogie ou régle de Trois : le Sinus de l'angle D eft au côté oppofé C B, ou à la base mesurée, comme le Sinus de l'angle B eft au côté CD qui est celui qu'on vouloit dé

couvrir.

92. Le Sinus de l'angle D eft 7904, c'est ce qu'on trouye dans les Tables en cherchant vis-à-vis de 4o. 32′. Nous nous fommes contentés de marquer dans les Tables que nous inférerons à la fin de ce premier Livre, les Sinus, de 10 m. en 10". On n'y trouvera donc pas le Sinus de 4o. 32m: mais fi on cherche la différence entre les Sinus de 4o. 30', & de 4°. 40' on verra qu'elle eft de 290; & fi on prend la cinquième partie de cette différence, il viendra 58 pour celle qui doit répondre à 2', & qu'il faut par conféquent ajoûter au Sinus de 4 d. 30m. pour avoir celui de 4o. 4. 32'. Si l'on avoit befoin du Sinus de 4o. 35', on prendroit le milieu entre 7846 & 8136; ou ce qui revient au même, on ajoûteroit au premier la moitié de la différence 290. Pour avoir le Sinus de 4°. 31'. on prendroit par la même raifon la dixiéme partie de la différence 290 qui eft produite par les dix minutes qu'il y a entre 4°. 30′ & 4°. 40′ ; & ajoûtant cette dixième partie à 7846 Sinus de 4°. 30', on auroit 7875 pour celui de 4°. 31'. C'eft ce qu'on appelle prendre les parties proportionnelles, & ce qui eft d'un usage prefque toujours néceffaire, lorfqu'on a recours aux Tables parce que ceux qui les ont conftruites, n'ont pû leur don ner qu'une certaine étendue.

Fig. 35.

Figure 36.

93. Nous revenons à l'exemple que nous nous fommes propofé. Nous avons 7904 pour le Sinus de l'angle D, (Fig.35.) qui eft de 4°. 32'; & nous avons 67559 pour celui de l'angle B. Mais on doit remarquer que ce fecond Sinus ne fe trouve pas vis-à-vis de 137 d. 30 m, mais vis-àvis du furplus de ce nombre à 180 degrez. On a vu plus haut fur la Figure 33, que les Sinus des arcs, comme AM, qui furpaffent le quart de cercle, vont en diminuant, & font plus courts que le Sinus total. C'eft pour cette raison que les Tables des Sinus ne s'étendent pas au-delà de 90 degrez; & que pour avoir le Sinus de l'arc ABM de 137. 30. on prend celui M N de l'arc MO qui eft de 42. 30. Enfin les deux Sinus 7904 & 67559 étant trouvés, il ne reste plus qu'à faire cette régle de Trois; 7904 Sinus de l'angle D (Fig. 35) eft à CB qui eft de 2500 toifes, comme 67559 Sinus de l'angle B eft à 21369 toises pour la distance CD de Calais jusqu'à Douvre.

Trouver par la Trigonométrie combien il s'en faut que le Soleil ne réponde à plomb fur un lieu.

(Voyez Figure 36.)

94. » On peut, par la même Méthode, trouver les angles d'un triangle dont on connoît les côtés. Nous >> nous propoferons pour exemple, de mefurer combien il » s'en faut que le Soleil ne réponde fur notre tête, ou com>> bien il eft éloigné du point le plus haut du Ciel à notre égard. Nous voulons fuppléer au défaut de l'inftrument » de la Figure 3, ou de tous les autres dont on fe fert >> ordinairement pour faire cette obfervation, qui, comme » on le verra dans la fuite, eft extrêmement importante. On aura une feuille de tole ou de fer blanc AB » ( Fig. 36.) qui fera percée en O d'un petit trou d'une » demie ligne, ou une ligne de diamé.re. On attachera

» cette

cette platine ou feuille, par une de fes extrémités; au «
haut d'un pieu; ou fi on eft dans un endroit où il y ait «<
quelque cabane, on dérangera le chaume de fon toît, & «
on introduira la platine dans l'ouverture, fans fe mettre <<
'fort en peine fi elle fe trouve de niveau ou dans une situa- «<
tion inclinée. La lumiére du Soleil paffera par le petit <<
trou 0, on la recevra en C fur un morceau de planche <<
eu fur une tuile: on fufpendra au petit trou un fil à plomb «
OP; & il ne reftera plus qu'à mesurer la longueur du «
rayon de lumiére OC, & la plus courte diftance CD du «
centre du point lumineux Cau fil à plomb. «<

95. Il n'importe de quelles parties égales on fe ferve «
pour mefurer ces deux lignes, pourvû qu'on employe les <<<
mêmes parties, & qu'elles foient fuffifamment petites, «
afin qu'il foit permis de négliger les fractions. J'ai pour «
l'ordinaire dans mes voyages, employé le pied de Roy, «
divifé en 400 parties. Je pofois quelquefois la feuille de «
tole à 7 ou 8 pieds de hauteur: je prenois avec deux ro- «
feaux que je faifois gliffer l'un fur l'autre, la longueur de «
CO, & je voyois combien elle contenoit de parties : «<
les mêmes rofeaux me fervoient à prendre la plus courte <<<
diftance du point Cau fil à plomb OP; ce qui me difpen- «
foit d'examiner fi le terrein étoit uni & de niveau. Com- «
me le fil à plomb ne descendoit pas d'en-haut, précisé-
ment du centre du petit trou, il me falloit avoir égard
à la demie largeur de ce même trou que j'ajoûtois à la «
distance CD, ou que j'en retranchois. J'avois après cela «
les deux côtés CO & CD du triangle - rectangle CD 0 ; «
& il n'étoit plus queftion que de chercher par le calcul «
l'angle que formoient en O le rayon du Soleil & le fil à «
plomb. Le fil étoit comme un Gnomon ou ftile, qui avoit «
pour fommet le centre du petit trou. <<

«

96. Ne fachant pas qu'on eût fait d'observation à Sainte << Marthe à la côte du Nord de l'Amérique Espagnole, « j'eus recours à une femblable opération le 30 Octobre << 1743. à midy. La longueur du rayon de lumiere ne fes

«

trouva que de 2217 parties, de celles qui étoient mar » quées fur un compas de proportion que j'avois ; & la plus >> courte diftance CD du rayon de lumière au fil à plomb >> fe trouva de 945 de ces mêmes parties. Lorsqu'on prend l'hypothenufe CO pour rayon ou pour Sinus total, le côté CD eft le Sinus de l'angle CO D' qui lui eft oppofé. Ainsi >> file rayon de lumiere s'étoit trouvé de 100000 parties > il n'y auroit qu'à chercher dans les Tables entre les Si»nus la longueur de CD, & on auroit vis-à-vis, la gran>> deur de l'angle qu'on veut découvrir; mais CO n'étant » que de 2217 parties, il faut faire cette proportion ou ré»gle de Trois ; 2217 eft au Sinus total 1ooooo, comme »945 eft à un quatriéme terme, qui fera le Sinus de l'angle » COD. La régle de Trois étant faite, on a 42625, & on >> trouve que ce Sinus répond à un peu moins de 25 deg. » 14 min. C'eft-à-dire, qu'il s'en falloit beaucoup que le So» leil ne répondit précisément au-deffus du Port de Sainte » Marthe, lorfque j'y étois. Cet aftre paroiffoit éloigné du » point le plus haut du Ciel d'un peu moins de 25 deg. 14 » min. Je dois ajoûter que cette Méthode peut se trouver » très-utile aux Navigateurs dans les endroits où ils abor> dent, & qu'elle eft fufceptible d'une très - grande préci» fion, malgré la fimplicité ou même la groffiéreté appa> rente des expédiens qu'elle employe.»

IV.

Moyen d'abréger les Calculs précédens par les Logarithmes.

(Voyez Fig. 34, 35.)

97. On abrége ordinairement les calculs en fe fervant des Logarithmes qui font des nombres tellement difpofés, que leur addition tient lieu de multiplication, & leur fouftraction tient lieu de divifion. Nous ne devons prendre ici d'en expliquer parfaitement la nature, il nous

pas entre