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de différence en latitude.

Réduire les Lieues mineures en Lieues majeures.

I 54. La différence en latitude étant trouvée, on cherchera la latitude d'arrivée & le moyen parallele comme à l'ordinaire, & on passera ensuite à § réduction des lieues mineures en lieues majeures. Ceci se rapporte à ce que nous avons † dans la premiére Section de ce cinquiéme Livre , depuis le No. 16.jusqu'au No. 24. Si dans la figure 33. la ligne CH représente le fil du Quartier de réduction, tendu sur le moyen parallele, & qu'on prenne les lieues majeures C D ou CH pour rayon ou Sinus total , les lieues mineures F D ou B H seront Sinus du complément du moyen parallele. Ainsi nous n'aurons qu'à faire cette analogie pour trouver les lieues majeures : Le Sinus complément du moyen parallele est aux lieues mineures , comme le Sinus total est aux lieues majeures. E 5 5. Si l'on veut faire ce calcul par une régle de Trois dont le Sinus total soit le premier terme , il n'y a qu'à considérer les lieues mineures comme rayon ou Sinus total, & les lieues majeures deviendront Sécante du moyen parallele. On pourra donc faire cette autre régle de Trois : Le Sinus total est aux lieues mineures , comme la Sécante du moyen parallele est aux lieues majeures.

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I 56. On est parti de 6o deg.45 min. de latitude Nord & de 15 deg. de longitude; on a couru 75# lieues , ou 226 milles ou tiers de lieue au NE# N. On demande la latitude & la longitude d'arrivée.

I 57. Latitude du départ N. . 6o "! 187.9 Milles au Nord.

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1 58. Les articles étant disposés , comme lorsque nous travaillons par le Quartier de réduction , je fais attention que le N E# N est éloigné du Nord de 33 deg. 45 min, Je cherche le Sinus de cet angle dans les Tables , je trouve 55557, & je transcris en même tems le Co-Sinus, ou Sinus de complément 83 147. Ces deux nombres serviront de troisiémes termes aux deux analogies qu'il faudra que nous fassions pour trouver les deux côtés A B & B C du triangle de la figure 34.

I 5 9. La premiére de ces régles de Trois consiste à dire : Le Sinus total 1'ooooo est aux 226 milles de longueur du chemin, comme le Co-Sinus 83 147 du rumb de vent est à 187.9 milles de différence en latitude. Le produit de 226 par 83 147 est 1879 1222 qu'il faut diviser par le Sinus total ; mais il suffit , pour faire cette division , de retrancher cinq figures à la droite ; & comme le premier des chiffres retranchés est un 9 , il forme 9 dixiémes de mille qu'on peut joindre aux 187 milles, en le distinguant † un point. On a donc presque 188 milles ou tiers de ieue de différence en latitude, valeur de 3 deg. 8 min. I 6o. Nous avons pour l'autre régle de Trois : Le Sinus total 1ooooo est aux milles 226 du chemin comme le Sinus 55557 de l'angle du rumb de vent est aux milles avancés vers l'Est. Le produit des deux derniers termes est 1 2 555882 ; & retranchant les cinq derniéres figures , on a 125.5 milles mineurs avancés vers l'Est , ou plutôt 125 . 6 , à cause de la grandeur du reste. Si on veut porter la précision encore plus loin, il n'y a qu'à employer les deux premiers chiffres retranchés , & on aura 125. 56, c'est-à-dire, 125 milles , & 56 centiémes. I 6 I. Il faut enfin réduire ces 125 . 6 milles mineurs en degrez & minutes de longitude, en se servant du moyen † 62 deg. 19 min. On fera cctte régle de Trois :

e Co-Sinus de 62 deg. 19 min. sçavoir, 46458 est aux milles mineurs 125 . 6, comme le Sinus total 1 cocoo est à 27o. 3 milles majeurs. On peut négliger les 3 derniers dixiémes de mille qui sont moindres qu'un tiers de mille. On aura donc 27o milles majeurs , ou 27o minutes, valeur de 4 deg. 3o minutes de différence en longitude. I 62. Au lieu de faire la régle de Trois précédente, on fera, sil'on veut cette autre : Le Sinus total 1 ooooo est aux milles mineurs 125 . 6, comme la Sécante 2 15246 du moyen parallele est aux milles majeurs 27o. I 63. On peut suivre une autre pratique, quant au moyen parallele. On peut faire une somme des Co-Sinus des deux latitudes du départ & de l'arrivée ; & prenant la moitié de la somme , il viendra pour Sinus complément du moyen parallele une quantité un peu moindre § celle que nous avons trouvée ci-devant, mais qui n'en

ifférera guére : il viendra 46441 dans l'exemple proposé. Au lieu de prendre la Sécante du moyen parallele , on peut aussi ajouter ensemble lesSécantes des deux latitudes, & prendre la moitié de leur somme. On trouvera une Sécante un peu plus grande que lorsqu'on s'arrête à celle du nombre de degrez, qui tient exactement le milieu entre les deux latitudes, & qu'on nomme souvent le Moyen parallele arithmétique.

Résoudre le méme Probléme par les
Logarithmes.

I 64. On fera précisément les mêmes régles de Trois ou analogies, en cherchant les Logarith. Sinus dans la premiére Table, & les Logarithmes des lieues ou des milles dans la Table des Logarithmes des nombres absolus ; mais il faudra ajouter ensemble, comme on le sçait , le second & le troisiéme termes, & on en ôtera le premier ; ce qui tiendra lieu de multiplication & de division. Nous aurons pour les trois premiers termes de l'analogie qui doit nous donner les lieues mineures ou milles à l'Est dans l'exemple précédent, le Logarith. 1o. oooocco du Sinus total, le Log. 2.354 Io84 des 226 milles de chemin, & le Log. Sin. 9.744739o de langle du rumb de vent 33 deg.

45 min. On trouvera par le calcul le quatriéme terme

2. o988474 qui répond à environ 125# milles mineurs avancés vers l'Est. I 65. L'autre analogie sera : 1o. ooooooo est au Logarithme 2.354 1o84 du chemin , comme le Co-Sinus Logarith. 9.9 198464 du rumb de vent est à 2 . 2739548 qui répond à presque 188 pour les milles de différence en latitude, avancés au Nord. I 6 6. Nous aurons enfin pour la réduction des milles mineurs en degrez de longitude : Le Logarith. 9.667o647 du Sinus complément du moyen parallele est au Logarithme 2. o988474 des milles mineurs , comme le Logarithme 1o. ooooooo du Sinus total est au Log. des milles majeurs. Le quatriéme terme est 2.43 17827 qui répond à 27o milles ou tiers de lieue, qui valent 4 degrez 3o min. de différence en longitude. On doit remarquer que nous avons employé le Log. 2.o988474 que nous a fourni immédiatement notre premiére analogie pour les milles à l'Est, & qu'on peut de cette sorte se dispenser de chercher à quel nombre répond ce Logarithme.

Résoudre le méme Probléme en ne faisant que deux Analogies. I 67. Il est facile de s'appercevoir que les calculs pré

cédens peuvent s'abréger encore plus considérablement, &

& qu'au lieu de trois analogies que nous venons de faire,
on peut toujours n'en faire que deux. Il en faut nécessai-
rement une pour découvrir la différence en latitude ; mais
On † trouver la différence en longitude, sans chercher
les lieues mineures. Il n'y aura pour cela qu'à faire cette
seule proportion : La Sécante du complément du rumb de
vent est aux lieues de distance, comme la Sécante du moyen pa-
rallele est aux lieues majeures.
I 68. On verra la raison de cette analogie , en consi-

dérant les lieues mineures B C dans la figure 34, comme

Sinus total, & les mêmes lieues mineures FD dans la
fig. 33. aussi comme Sinus total. Les lieues de distance AC
dans la fig. 34, seront Sécante de l'angle C complément du
rumb de vent, & les lieues majeures CD dans la fig. 33,se-
rontSécante de l'angle D, qui est égal au moyen parallele,
puisque l'angle FCD en est le complément.Ainsi compa-
rant la Sécante compl. du rumb de vent aux li. de distance,
on peut comparer la Sécante du moyen parallele aux lieues
majeures; puisque les lieues mineures, quoiqu'on ne se
donne pas # peine de les chercher, sont également pri-
ses pour Sinus total dans ces deux comparaisons.
I 69. Il y a même † entre deux Sécantes qu'en-
tre leurs Sinus de complément, mais dans un ordre ren-
versé, comme nous l'avons fait remarquer dans le premier
Livre*. Ainsi on peut encore trouver immédiatement les
lieues majeures par cette analogie : Le Sinus complément du
moyen parallele est aux lieues de distance , comme le Sinus du
rumb de vent est aux lieues majeures.
I7o. , Si nous appliquons cette derniére proportion à
l'exemple proposé; nous aurons; 9.667o647 Log. du Si-
nus compl. du moyen parallele est au Log. 2.3541o84 des
milles de chemin 226, comme le Log. 9 . 744739o de
l'angle du rumb de vent 33 deg.45 min. est à 2.43 17827
pour le Log. de la différence en longitude 27o milles ou
tiers de lieue, comme nous l'avions déja trouvé.

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