Méthode de réfoudre les Problêmes de Navigation par l'Echelle des Logarithmes, nommée vulgairement Echelle Angloise.

206.

L

E s analogies ou proportions que nous venons d'employer, fervent auffi lorsqu'on veut réfoudre les Problêmes de Navigation par l'échelle des Logarithmes dont nous avons déja eu occasion de parler. Nous avons mis ces échelles au bas d'une Carte dont il eft facile de les détacher, comme nous avons eu foin d'en avertir. Nous en donnerons l'ufage après avoir expliqué leur conftruction.

I.

Conftruction des Echelles des Logarithmes.

207. On met ordinairement trois de ces échelles l'une au-deffus de l'autre; on les fait exactement de même longueur, & on les rend paralleles. La premiere exprime par fes divifions les Logarithmes des nombres abfolus ; c'eft fur cette échelle qu'on prend le nombre des lieues de distance ou des milles de la marche du Navire, & toutes les autres mesures dont on fe fert pour déterminer la longueur des côtés des triangles-rectilignes. Au-deffous de cette échelle on en met une autre qui eft formée des Logarithmes-Sinus, de degré en degré jufqu'à 90; & plus bas on met la troifiéme échelle qui contient les Logarithmes-Tangentes jufqu'à 45 degrez. On ne prolonge pas celle-ci plus loin, afin qu'elle foit de même longueur que celle des Sinus ; & quant à la premiere ou celle des nom

part

bres abfolus, on fe contente de la marquer jufqu'à 100. 208. La conftruction de ces échelles fe réduit presque à ce que nous avons dit dans le premier Livre, en parlant en général de la conftruction des échelles. On tire à une ligne droite, précisément de la longueur qu'on veut donner aux échelles, & on la divife en 20 parties égales, qu'on fait valoir chacune 100. On fçait affez qu'il n'eft pas néceffaire pour cela de partager chacune de ces 20 parties en 100; il fuffit d'en divifer une; & même au lieu de la divifer réellement, on fe contente de la partager en 10 parties égales, & une de ces parties en 10. On pourroit faire, pour plus de précision une échelle de dixme; mais on pourra s'en difpenfer, & diviser simplement la ligne en parties égales, comme nous le difons: cette premiere ligne, malgré fes divisions & fubdivifions, ne fert qu'à la conftruction des trois échelles ; & c'eft pour cette raison que nous avertiffons qu'il faut la tracer à part. On la fera fur une feuille de carton, ou fur une table; on numérotera ses vingt parties, en écrivant à la fin de chacune 100, 200, 300, &c. jufqu'à 2000.

209. On s'arrête à cette divifion de 2000 parties, parce que le log. de 100 s'y réduit aisément. Le log. de ce nombre eft 2.0000000. On fçait que la caractéristique eft considérée comme fi elle n'étoit pas féparée par un point. D'un autre côté on peut diminuer tous les logarithmes; & pourvû qu'on les diminue tous dans le même rapport, ils conferveront toujours leur même propriété. Nous retrancherons donc quatre figures à droite des logarithmes des nombres que nous fournit la Table qui eft à la fin du premier Livre; & nous pourrons enfuite prendre leur longueur avec un Compas jufqu'à 100, fur notre ligne droite divifée en 2000 parties. Le logarithme de l'unité eft zéro, c'eft pourquoi nous marquerons l'unité au commencement de l'échelle des logarithmes des nombres. Le log. de 2 eft 0.3010300, qui fe réduit à 301, en féparant les quatre derniéres figures. Ainfi il faudra prendre 301 avec

un Compas fur la ligne des parties égales, & portant cer intervalle fur l'échelle des log. depuis le commencement, on aura le point de 2. On trouvera le point de 3, en prenant 477 parties; on marquera 4 en prenant 602 parties, & ainfi de fuite jufqu'à 100 dont le log. eft de 2000, par le retranchement des quatre dernieres figures.

210. Le point de 10 tombera au milieu de la longueur de l'échelle car fon log. eft 1.0000000, qui fe réduit à 1000, lorfqu'on fupprime le point & qu'on efface les quatre derniers zéro. On abrégera une partie du travail pour les autres nombres, fi on fait attention à la propriété qu'ont les logarithmes d'avoir entre eux les mêmes différences, lorfqu'ils font les logarithmes de nombres qui ont entre eux les mêmes rapports. Ainfi lorfqu'on a marqué 9 & 10, on n'aura qu'à prendre l'intervalle entre les deux points, & on aura celui qu'on doit mettre entre 99 & 100. On peut par la même raifon prendre les intervalles entre 1 & 2, entre 2 & 3,&c. & on aura les intervalles qu'on doit mettre entre 10 & 20, entre 20 & 30, &c. 21 I. On peut encore fe fervir d'une autre propriété des logarithmes pour achever plus promptement l'échelle des nombres abfolus. Lorfqu'un nombre eft le produit de deux autres, il n'y a qu'à prendre fur l'échelle avec un Compas les logarithmes d'un de ces derniers nombres, & fi on l'ajoute au logarithme de l'autre, ou fi on le met à l'extrémité, on aura le point où on doit marquer le produit. Si on prend, par exemple, la distance depuis le commencement de l'échelle jufqu'à 8, & qu'on joigne cet intervalle à celui qui exprime le log. de 2, il viendrą le point où il faut marquer 72.

212. La conftruction des deux autres échelles ne fera guère plus difficile; elle fera feulement un peu plus longue, parce qu'on ne peut pas fe fervir des abrégés dont nous venons de faire mention. On cherchera dans les Tables les logarithmes-finus ou logarithmes-tangentes; mais pour réduire celui du finus total, ou celui de la tangente

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gente de 45 degrez aux 2000 parties qu'ils doivent avoir, il ne fuffira pas de retrancher quatre figures à droite, faudra encore souftraire le nombre 8 de la caractéristique. Ainfi, pour marquer, par exemple, 15 degrez fur l'échelle des logarithmes-finus, on cherchera dans les Tables fon logarithme-finus, qui eft 9.4129962, & qui se réduira à 1413, en y faifant les changemens que nous indiquons. C'est pourquoi il faudra prendre 1413 fur la ligne divifée en 2000 parties égales, & transportant l'intervalle fur l'échelle destinée à marquer les logarithmes-finus, on aura le point de 15 degrez.

213. Si on veut pareillement marquer fur la troisiéme échelle, ou fur l'échelle des tangentes, le point de 35 degrez; on fupprimera les quatre derniers chiffres du logarithme-tangente 9.8452268, & on fouftraira 8 de fa caractéristique. Il viendra 1845 parties, qu'il faudra prendre avec un Compas fur la ligne divifée en parties égales, & portant cet intervalle fur l'échelle des logarithmes-tangentes, on aura le point de 35 degrez. La diminution qu'on fait à la caractéristique des logarithmes finus & logarithmes-tangentes, eft équivalente à une divifion; mais le changement étant abfolument le même fur toutes ces quantités, c'eft comme fi on réduifoit les finus & les tangentes à de moindres nombres.

I I.

Ufage de l'Echelle des Logarithmes pour refoudre les Problêmes de Navigation.

214. Lorfqu'on fe fert des logarithmes pour faire une Regle de Trois ou proportion, on met précisément la même différence entre les logarithmes des deux derniers termes, qu'entre les logarithmes des deux premiers. Il faut faire la même chofe lorfqu'on travaille fur l'échelle des logarithmes, & l'opération eft extrêmement aisée. On

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ouvre un Compas commun depuis le premier terme jufqu'au fecond, on le porte enfuite fur le troifiéme terme, & l'autre pointe du Compas marque le quatriéme terme. Il faut feulement avoir foin d'éviter les analogies dans lefquelles les fécantes font employées, & faire auffi en forte que les tangentes dont on fe fert, appartiennent à des angles moindres que 45 degrez.

Solution du premier Problême.

215. Nous prendrons pour exemple la premiere regle compofée dont il a été queftion ci-devant au No.101.On dif pofera les articles comme fi l'on travailloit par le Quartier de réduction. La troifiéme route eft de 80 li. à l'E÷SE. Ce rumb de vent qui eft corrigé de la variation, vaut 78 deg. 45 min. & fon complément eft de 11 deg. 15 min. Je mets en même tems une des pointes du compas fur le finus total, ou fur 90 deg. pris fur l'échelle des logarithmes-finus, & l'autre pointe fur 80 lieues comptées fur l'échelle des nombres qui eft au-deffus. Le compas fe trouvera avoir une fituation oblique dans cette premiere partie de l'opération; mais il n'en réfultera aucun inconvénient, parce que l'obliquité fera la même dans le reste. Sans changer l'ouverture du compas, je porte fa premiere pointe fur les 78 deg. 45 min. de l'angle du rumb de vent, & l'autre pointe me marque fur les nombres 78 lieues mineures Eft; je tranfporte enfuite le compas fur les 11 deg. 15 min. du complément du rumb de vent, & je trouve fur les nombres is lieues Sud. Il faut remarquer qu'on mettra moins de tems à faire cette opération, que nous n'en employons à l'expliquer. Elle eft fondée fur ces deux analogies: Le finus total eft aux lieues de distance, comme le finus du rumb de vent eft aux lieues mineures, & comme le finus complément du rumb de vent est aux lieues de différence en latitude.

216. La feconde route eft de 230 lieues à l'ONO,