de comparaison auquel on puiffe recourir dans les rencon tres extraordinaires, on a befoin de quelqu'autre Méthode plus exacte. I. Trouver la différence en longitude avec exaElitude pour les plus longues Routes principalement pour celles qui font un angle de 45 degrez avec le Méridien. 230. L'unique expédient qui fe préfente pour éviter le défaut du moyen parallele, confifte à partager la route en de très-petites portions, & à en faire la réduction féparément. On peut rendre les parties plus ou moins petites; mais il eft certain que fi on a couru au NE, & qu'on confidére à part chaque portion de la route qui répond à une minute de différence en latitude, on pourrą traiter à tous égards le petit triangle loxodromiqué comme parfaitement rectiligne. On n'aura auffi aucune erreur à craindre de la part du moyen parallele; puifqu'il feroit même indifférent de faire alors la réduction pour la longi tude fur le parallele de la latitude du départ, ou fur celui de la latitude d'arrivée de la petite portion de route. Cette méthode eft extrêmement longue; mais outre qu'on peut l'abréger, il fuffit de l'appliquer en particulier à une feule loxodromie comme celle du NE. 23 I. Lorfque deux routes font comprifes entre les mêmes latitudes, les différences en longitude qu'elles produifent, font exactement comme les Tangentes de leurs obliquités ou des angles qu'elles font avec le Méridien. C'est ce qu'on appercevra aisément par un peu d'atten tion. La différence en latitude étant la même pour les deux routes, les lieues mineures feront comme les Tangentes des deux angles de rumbs de vent; & lorfqu'on éduira ces lieues mineures en lieues majeures, le moyen parallele parallele, quel qu'il foit, étant exactement le même, les deux différences en longitude feront encore dans le même rapport, elles feront toujours l'une à l'autre comme les Tangentes des deux rumbs de vent. C'eft ce qu'on voit également en divifant les routes par petites portions. Les petites parties correfpondantes qui feront comprises entre les mêmes paralleles à l'Equateur, produiront de petites différences en longitude proportionnelles aux Tangentes des obliquités des rumbs de vent. Ainfi il fuffit de calculer une fois pour toutes, les différences en longitude pour une feule loxodromie , pour le NE, par exemple; & fi on en compofe une Table, on la fera fervir pour les autres rumbs de vent, en ne faifant qu'une fimple proportion. La Tangente de 45 degrez eft à la longitude que fournit la Table pour le NE, comme la Tangente de l'obliquité de tout autre rumb de vent fera à la différence en longitude requise. 232. Il ne s'agit donc que de calculer immédiatement les différences en longitude pour le N E. Si AI (Fig. 53.) représente cette route, & qu'on la fuppofe divifée réellement en petites portions qui répondent à chaque minute de différence en latitude, toutes les parties A F, FG, GH, &c. de la loxodromie, feront égales entr'elles, & toutes les petites quantités LF, MG, NH, &c. avancées vers l'Eft, feront chacune d'un mille ou d'un tiers de lieue. Quant aux petites différences en longitude correfpondantes, elles augmenteront à mesure qu'on avancera vers le Pole: elles deviendront plus grandes dans le même rapport que le Sinus total fera plus grand que le Sinus complément de la latitude, ou que la Sécante de la latitude fera plus grande que le Sinus total. Les petits côtés LF, MG, NH, &c. qui repréfentent les lieues mineures, étant exactement d'un mille ou d'un tiers de lieue, nous ferons cette analogie; le Sinus total eft à un mille comme la Sécante de chaque latitude fera à la petite différence en longitude, ou au petit arc de l'Equateur correfpondant. Hhh 233. Il fuit de-là que nous n'avons qu'à prendre fucceffivement dans les Tables des Sinus, toutes les Sécantes de minute en minute, & les ajouter enfemble; & que fi nous retranchons 5 figures à la droite, celles de la gauche nous donneront les différences en longitude, exprimées en minutes pour le N E. C'eft de cette forte qu'on a calculé la Table que nous inférerons à la fin de ce Chapitre. Si on y cherche vis-à-vis de 62 deg. o min. on trouvera 4775 parties ou minutes, parce que la fomme de toutes les Sécantes de minute en minute donne 4775 milles majeurs ou minutes pour la différence en longitude totale, lorfqu'on part de l'Equateur, & qu'on court au NE jufques par 62 deg. de latitude. Si après qu'on a trouvé la différence en longitude pour 62 deg. de latitude, on veut trouver de combien elle augmente lorsqu'on continue à courir au NE jufques par 62 deg. 10 min. il n'y a qu'à ajouter les dix Sécantes fuivantes, & retrancher toujours cinq figures à la droite pour tenir lieu de la divifion par 100000; il viendra 21 minutes, ou plutôt 21.35316 pour l'augmentation, & on aura 4796 minutes, valeur de 79 deg. 56 min. pour la différence en longitude totale. 234. La Table qui indique ces quantités, porte le nom de Table des Latitudes croiffantes, parce qu'elle marque en même tems les accroiffemens qu'on doit donner aux degrez du Méridien dans les Cartes réduites. On peut fe reffouvenir que nous fuivions précisément en effet la mê* Voyez me méthode dans le fecond Livre * pour les déterminer. No. 112. & Ce font deux différentes vûes qu'on peut avoir en faisant la même opération : on peut en cherchant la fomme de toutes les Sécantes dont on retranche cinq figures, fe propofer de découvrir les différences en longitude exprimées en minutes pour le NE; ou bien vouloir trouver l'extenfion qu'il faut donner aux parties du Méridien dans les Cartes Marines. Plufieurs Auteurs & principalement Snellius, ne s'occupérent que du premier de ces objets fans jamais penfer au fecond qui en étoit néanmoins fi fuiv. voifin ils ne firent pas cette remarque qui nous paroît maintenant fi fimple, qu'auffi-tôt qu'on veut repréfenter les rumbs de vent par des lignes droites fur les Cartes, il faut donner aux parties du Méridien des longueurs exactement égales aux changemens de longitude produits par le NE. I I. Seconde Méthode de calculer les différences en longitude pour les Rumbs de vent, dont l'obliquité eft de 45 degrez. 235. Nous avons une autre méthode beaucoup plus courte pour trouver les différences en longitude pour le NE; mais dont il fera d'un autre côté beaucoup plus difficile d'appercevoir la raison. On prendra dans les Tables des Logarithmes-Sinus & Tangentes dont la caractéristique eft fuivie de fept figures, les Tangentes logarithmiques qui répondent à la moitié de la diftance de chaque latitude à un des Poles; on prendra toujours la différence de ces Logarithmes, & la divifant par le nombre conftant 1263, on aura au quotient la différence en longitude requife exprimée en minutes. 236. Premier Exemple. Suppofons qu'on foit parti de l'Equateur, & qu'en courant au NE, on foit arrivé par 62 degrez de latitude. L'Equateur & le parallele de l'ar rivée font éloignés du Pole du Nord, de 90 degrez & de 28; la moitié de ces distances eft 45 deg. & 14. J'en cherche les Logarith. Tang. 10.0000000, & 9.3967711, & divifant leur différence par 1263, il me vient 4775 minutes pour la différence en longitude; ce qui s'accorde parfaitement avec la Table des latitudes croiffantes. 237. Second Exemple. On part de 30 degrez de latitude Sud, on court au NE jufques par 70 degrez de latitude Nord; & on demande la différence en longitude. On n'a qu'à prendre la distance des deux paralleles jufqu'à l'un ou Fig. 78. l'autre Pole. Les deux diftances au Pole du Nord font de 120 & de 20 deg. dont les moitiés font de 60 degrez & de 10. J'en cherche les Log. Tang. & divifant leur différence 9922418 par 1263, il me vient 7854 minutes pour la différence en longitude, qu'on trouve auffi la même dans la Table des Latitudes croiffantes, en ajoutant 1888 min. qui eft la différence en longitude qui répond à 30 deg. avec 5966 qui répond à 70 deg. Démonftration de la Méthode précédente 238. Pour démontrer l'exactitude de cette Méthode, pa 239. Les deux Méridiens NBS & NDS étant infiniment voifins l'un de l'autre, la petite portion F G de la loxodromie doit être confidérée comme une ligne droite, de même que la petite différence en latitude F1 qui y répond, & le petit côté 1 G qui eft une portion du rallele à l'Equateur, dont le centre eft en K, & dont I K & GK font deux rayons. Si des trois points F, I & G, on tire trois lignes droites au Pole S, leur rencontre avec le plan de l'Equateur, nous donnera le petit triangle MPN, qui représentera le petit triangle loxodromique FIG.Le |