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petit côté PN sera une petite portion d'arc de cercle,
dont le centre est en C; de sorte que PC & N C sont
égaux. D'un autre côté les lignes MC & N C étant per-
à CS, qui est un des rayons du Globe , ces
ignes sont égales aux Tangentes des angles en S; c'est-
à-dire que MC est la Tangente de l'angle MSC qui a
pour mesure la moitié de la distance du point F au Pole N
du Nord, comme le sçavent les Lecteurs qui sont initiés
dans la Géométrie élémentaire ; & on peut dire la même
chose de PC ou de NC. De sorte que tous les points F,
I, G, & c. de la surface du Globe, sont représentés sur
le plan de l'Equateur par des points M, P, N, &c. qui sont
éloignés du centre C de la Sphère, de distances égales aux
Tangentes de la moitié du complément des latitudes.
24 O. Nous imaginerons après cela une infinité d'au-
tres Méridiens qui partagent l'Equateur en petites parties
égales à B D. La loxodromie se trouvera divisée en mê-
me tems, en autant de petites parties, mais qui seront iné-
gales entr'elles, & qui iront en diminuant, à mesure qu'on
considérera des points de la ligne courbe plus avancés
vers le Pole. Le rayon B C ou BD de l'Equateur , sera
au petit arc B D, comme le Sinus complément I K ou
G K de la latitude du point G sera au petit espace IG qui
tient lieu de milles mineurs de la petite portion de rou-
te FG, & qui est égal à FI , puisque notre loxodromie
est le N E. Ainsi dans la supposition que nous venons de
faire de la circonférence de l'Equateur divisée en petites
parties parfaitement égales entr'elles , il y a un rapport
constant des Sinus de complémens IK de chaque latitude
aux petites différences en latitude FI. Ce rapport est con-
tinuellement le même ; puisqu'il est égal à celui du rayon
ou Sinus total à chacune des petites parties égales BD de
l'Equateur. -
24 I. La seconde des trois lignes droites que nous
avons tirées des points F, I & G au Pole S, coupera au-

dedans du Globe au point 0, le Sinus FL qui est parallele

Fig. 78. Fig. 78. Fig. 78,

à I K; & nous aurons le petit triangle I F0 qui sera iso-
celle. Il suffit , pour s'en assurer, de faire attention que
le petit arc FI peut être considéré comme une portion
de la Tangente qui toucheroit le Globe ou le Méridien
en Fou en I. Il s'ensuivra de-là que dans le petit triangle
I FO , l'angle en Ia pour mesure la moitié de l'arc I B S.
Mais l'angle en 0 a pour mesure la moitié d'un arc égal ,
sçavoir de l'arc Si, qui est de l'autre côté de la Terre : car
dans la rigueur l'angle O a pour mesure la moitié de Sf
moins la moitié de F I. Mais on peut sur la grandeur de
l'arc S i négliger if & I F, # § infiniment petits.
242. Ainsi le petit triangle IFO est isocelle ; le petit
côté 0 F est égal à FI ; & puisqu'il y a un rapport constant
entre les Sinus IK & les petits arcs F 1, il y aura aussi
un rapport constant entre ces Sinus & F0. Ce même rap-
port subsiste entre FL & F0; car on peut négliger la dif-
férence infiniment petite qui se trouve entre I K & FL ;
& ce même rapport doit encore se trouver entre MC &
MP. Nous voyons donc que lorsqu'on divise l'Equateur
en une infinité de parties égales , les Tangentes de la
moitié du complément des latitudes de tous les points
correspondans de la loxodromie , vont continuellement
en diminuant en progression géométrique vers les Poles :
chacune de ces Tangentes , comme M C, est à son ex-
cès M P sur la Tangente suivante NC, dans le même
rapport que le rayon est à une des petites parties BD de
l'Equateur. - - -
24 3. On peut tirer différentes conséquences de cette
remarque ; mais nous nous contenterons de tirer celle-ci,
Si l'on prend les Logar. des Tang. de la moitié des com-
lémens des latitudes des points F, G, & c. de la loxo-
dromie, les différences de ces Logarithmes seront exacte-
ment égales entr'elles, à cause de la propriété des Loga-
rithmes; & on pourra comparer ces différences aux petits
arcs B D de l'Equateur, qui sont aussi égaux entr'eux. On
peut prendre même un certain nombre de ces différen-

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ces logarithmiques pour en former des différences plus
grandes, & pourvû qu'on prenne le même nombre de
petits arcs de l'Equateur , le rapport subsistera toujours.
Or comme ce raisonnement est le même pour toutes les
parties de la loxodromie, nous reconnoissons cette vérité
importante ; que si on considére deux † dans cette
ligne courbe, & que si on prend les Tangentes-Loga-
rithmes de la moitié de la distance de ces deux points au
Pole, il y aura même rapport de la différence de ces deux
Logarithmes à l'arc de l'Equateur correspondant , ou à la
différence en longitude , que de toute autre différence des
# Tangentes à la différence en longitude correspon-
aIltC.
244. Nous pouvons maintenant appercevoir avec fa-
cilité la raison sur laquelle est fondée la régle prescrite
ci-devant. Si l'on part de l'Equateur, & qu'en courant
au N E, on parvienne par une minute de latitude, on
n'aura avancé à l'Est qu'un tiers de lieue ou un mille ; &
ce progrès à l'Est produira une minute de changement en
longitude, parce qu'on est encore, pour ainsi dire, sur
l'Equateur. Or si l'on prend les Logarithmes-Tangentes
des moitiés des deux distances au Pole , sçavoir, de 45 ".
& de 44o. 59# ". on trouvera pour leur différence 1263# ;
& puisqu'il y aura même rapport à l'égard de toutes les
autres parties de la loxodromie, on n'aura qu'à faire la Ré-
gle de suivante : 1263 # est au petit arc de l'Equateur,
d'une minute, comme la différence des Tangentes loga-
rithmiques de la moitié des distances de deux autres points
uelconques de la loxodromie au Pole, sera aux minutes
† différence en longitude entre ces deux points.
2 45. Une remarque qui se présente ici , & qui paroî-
tra curieuse, c'est que si sur l'échelle des Logarithmes-
Tangentes, on change l'ordre des chiffres , & qu'après
avoir écrit zéro au point de 45 deg. on mette 5 deg. à la
place de 42# deg. qu'on écrive 1o deg à la place de 4o deg.
15 deg à la place de 37# , &c, l'échelle des Logatithmes-

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Tangentes se trouvera convertie en échelle des latitudes croissantes, propre à servir de Méridien à une Carte réduite. On ne doit jamais oublier que les parties de cette derniére échelle expriment les longitudes par rapport aux latitudes pour le N E. Or † avoir écrit zéro à la place de 45 degrez sur l'échelle des Log. Tang. on met 5 degrez à la place de 42# deg. & 1o à la place de 4o, & c. on rend les différences en longitude proportionelles aux différences des Log. Tang. des moitiés des distances de chaque point de la loxodromie au Pole. En effet 45 deg. est la moitié du complément de la latitude zéro, & 4o est la moitié du complément de la latitude 1o deg. C'est pourquoi on marque zéro & 1o aux points de 45 & de 4o. 2 4 # Lorsqu'on transforme ainsi l'échelle des Logarith. Tangentes en échelle des latitudes croissantes, les degrez de l'Equateur doivent toujours être égaux , comme if est évident, au premier degré du Méridien ; mais comme la moindre erreur pourroit se multiplier, si l'on se régloit sur ce degré unique , on peut voir dans la Table des Latitudes croissantes que ;o# degrez de l'Equateur sont égaux à 45 degrez du Méridien de la Carte , ou à l'intervalle compris entre 45 deg. & 22 deg. 3o min. pris sur l'échelle des Logarithmes - Tangentes avant sa transformation. Nous faisons abstraction du défaut de rondeur de la Terre, lorsque nous disons que 45 degrez sur le Méridien de la Carte réduite sont égaux à 5o# deg. de longitude : car dans la rigueur ils ne doivent être égaux qu'à 5o deg. 3 min, comme on le verra dans le Chapitre suivant.

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Résolution des Problémes de Navigation par la Table des Latitudes croissantes. 247. S'il s'agit de résoudre un premier Problême , on

cherchera la différence en latitude comme dans le Cha

pitre second, par les Sinus ou par les Logarithmes.A l'égard des autres Problêmes, on fera toujours en sorte d'avoir le rumb de vent & les latitudes du départ & de l'arrivée ; & on aura ensuite recours aux latitudes croissantes pour trouver la différence en longitude. On verra dans la Table les parties croissantes qui répondent aux deux latitudes; on soustraira les unes des autres, si les deux latitudes sont de même dénomination; mais on les ajoutera ensemble, si le point du départ & le point d'arrivée sont de différens côtés de l'Equateur, On aura de cette sorte la différence en longitude exprimée en minutes pour la route du N E, qui conduiroit d'une latitude à l'autre. Supposé qu'on n'eût pas de Table des latitudes croissantes, on chercheroit cette même différence en longitude par la méthode du No. 235. Enfin il ne restera plus que cette proportion à faire : Le Sinus total ou la Tangente de 45". est aux parties croissantes de différence en latitude, ou à la différence en longitude pour le N E, comme la Tangente du rumb de vent sur lequel on a réellement couru , est à la différence en longitude requise,

Exemple du premier Probléme.

248. On est parti des environs de la Martinique , par 14 deg. 4o min. de latitude N, & 3 18 deg. de long. & on a couru 1ooo lieues au N E # E. On demande la latitude & longitude d'arrivée. Je trouve d'abord la différence en latitude par les méthodes ordinaires. Il me vient 555. 6 lieues Nord, qui valent 27 deg. 47 min. Ainsi la latitude d'arrivée est de 42 deg. 27 min. Nord. Je cherche ensuite dans la Table des latitudes croissantes les parties qui répondent à la latitude du départ, & à celle de l'arrivée. Je trouve 89o & 28 18 dont la différence est de 1928 ;& ce nombre marqueroit donc la différence en longitude , si on avoit couru au N E. La différence en longitude actuelle sera plus grande , parce # a COUlIl# l 1

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