petit côté P N fera une petite portion d'arc de cercle, Fig. 78. dont le centre eft en C; de forte que PC & NC font égaux. D'un autre côté les lignes MC & NC étant perpendiculaires à CS, qui eft un des rayons du Globe, ces lignes font égales aux Tangentes des angles en S; c'està-dire que MC eft la Tangente de l'angle MSC qui a pour mesure la moitié de la distance du point F au Pole N du Nord, comme le fçavent les Lecteurs qui font initiés dans la Géométrie élémentaire ; & on peut dire la même chofe de P C ou de NC. De forte que tous les points F, I, G, &c. de la furface du Globe, font repréfentés fur le plan de l'Equateur par des points M, P, N,&c. qui font éloignés du centre C de la Sphère, de diftances égales aux Tangentes de la moitié du complément des latitudes. 240. Nous imaginerons après cela une infinité d'autres Méridiens qui partagent l'Equateur en petites parties égales à B D. La loxodromie fe trouvera divifée en même tems, en autant de petites parties, mais qui feront inégales entr'elles, & qui iront en diminuant, à mesure qu'on confidérera des points de la ligne courbe plus avancés vers le Pole. Le rayon BC ou BD de l'Equateur, sera au petit arc BD, comme le Sinus complément IK ou G K de la latitude du point G fera au petit efpace IG qui tient lieu de milles mineurs de la petite portion de route FG, & qui eft égal à F1, puifque notre loxodromie eft le N E. Ainfi dans la fuppofition que nous venons de faire de la circonférence de l'Equateur divifée en petites parties parfaitement égales entr'elles, il y a un rapport conftant des Sinus de complémens IK de chaque latitude aux petites différences en latitude FI. Ce rapport eft continuellement le même ; puifqu'il eft égal à celui du rayon ou Sinus total à chacune des petites parties égales BD de l'Equateur.

241. La feconde des trois lignes droites que nous avons tirées des points F, I& Gau Pole S, coupera audedans du Globe au point 0, le Sinus FL qui eft parallele

Fig. 78. à IK; & nous aurons le petit triangle IFO qui fera ifocelle. Il fuffit, pour s'en affurer, de faire attention que le petit arc FI peut être confidéré comme une portion de la Tangente qui toucheroit le Globe ou le Méridien en Fou en I. Il s'enfuivra de-là que dans le petit triangle IFO, l'angle en I a pour mefure la moitié de l'arc IBS, Mais l'angle en O a pour mefure la moitié d'un arc égal, fçavoir de l'arc Si, qui eft de l'autre côté de la Terre: car dans la rigueur l'angle O a pour mesure la moitié de Sf moins la moitié de FI. Mais on peut fur la grandeur de l'arc Sinégliger if & IF, qui font infiniment petits. 242. Ainfi le petit triangle IFO eft ifocelle; le petit côté O F eft égal à FI; & puifqu'il y a un rapport constant entre les Sinus IK & les petits arcs F1, il y aura aussi un rapport conftant entre ces Sinus & FO. Ce même rapport fubfifte entre FL & FO; car on peut négliger la différence infiniment petite qui fe trouve entre IK & FL; & ce même rapport doit encore fe trouver entre MC & MP. Nous voyons donc que lorfqu'on divife l'Equateur en une infinité de parties égales, les Tangentes de la moitié du complément des latitudes de tous les points correfpondans de la loxodromie vont continuellement en diminuant en progreffion géométrique vers les Poles; chacune de ces Tangentes, comme MC, eft à fon excès MP fur la Tangente fuivante NC, dans le même rapport que le rayon eft à une des petites parties BD de l'Equateur.

243. On peut tirer différentes conféquences de cette remarque; mais nous nous contenterons de tirer celle-ci, Si l'on prend les Logar. des Tang. de la moitié des complémens des latitudes des points F, G, &c. de la loxo◄ dromie, les différences de ces Logarithmes feront exactement égales entr'elles, à caufe de la propriété des Logarithmes; & on pourra comparer ces différences aux petits arcs B D de l'Equateur, qui font auffi égaux entr'eux. On peut prendre même un certain nombre de ces différen

ces logarithmiques pour en former des différences plus Fig. 78. grandes, & pourvû qu'on prenne le même nombre de petits arcs de l'Equateur, le rapport subsistera toujours. Or comme ce raisonnement est le même pour toutes les parties de la loxodromie, nous reconnoiffons cette vérité importante; que fi on confidére deux points dans cette ligne courbe, & que fi on prend les Tangentes - Logarithmes de la moitié de la distance de ces deux points au Pole, il y aura même rapport de la différence de ces deux Logarithmes à l'arc de l'Equateur correfpondant, ou à la différence en longitude, que de toute autre différence des Log. Tangentes à la différence en longitude correfpondante.

244. Nous pouvons maintenant appercevoir avec facilité la raifon fur laquelle eft fondée la régle prefcrite ci-devant. Si l'on part de l'Equateur, & qu'en courant au NE, on parvienne par une minute de latitude, on n'aura avancé à l'Eft qu'un tiers de lieue ou un mille; & ce progrès à l'Est produira une minute de changement en longitude, parce qu'on eft encore, pour ainsi dire, sur l'Equateur. Or fi l'on prend les Logarithmes - Tangentes des moitiés des deux diftances au Pole, fçavoir, de 45 d. & de 44d. 591 m. on trouvera pour leur différence 1263÷; & puifqu'il y aura même rapport à l'égard de toutes les autres parties de la loxodromie, on n'aura qu'à faire la Régle de Trois fuivante: 1263 eft au petit arc de l'Equateur, d'une minute, comme la différence des Tangentes logarithmiques de la moitié des distances de deux autres points quelconques de la loxodromie au Pole, fera aux minutes de différence en longitude entre ces deux points.

245. Une remarque qui fe préfente ici, & qui paroîtra curieuse, c'eft que fi fur l'échelle des LogarithmesTangentes, on change l'ordre des chiffres, & qu'après avoir écrit zéro au point de 45 deg. on mette 5 deg. à la place de 424 deg. qu'on écrive 10 deg. à la place de 40 deg. 15 deg. à la place de 37, &c. l'échelle des Logatithmes

Fig. 78. Tangentes fe trouvera convertie en échelle des latitudes croiffantes, propre à fervir de Méridien à une Carte réduite. On ne doit jamais oublier que les parties de cette derniére échelle expriment les longitudes par rapport aux latitudes pour le NE. Or lorfqu'après avoir écrit zéro à la place de 45 degrez fur l'échelle des Log. Tang. on met 5 degrez à la place de 42 deg. & 10 à la place de 40, &c. on rend les différences en longitude proportionelles aux différences des Log. Tang. des moitiés des distances de chaque point de la loxodromie au Pole. En effet 45 deg. eft la moitié du complément de la latitude zéro, & 40 est la moitié du complément de la latitude 10 deg. C'est pourquoi on marque zéro & 10 aux points de 45 & de 40. 246. Lorfqu'on transforme ainfi l'échelle des Logarith. Tangentes en échelle des latitudes croiffantes, les degrez de l'Equateur doivent toujours être égaux, comme il est évident, au premier degré du Méridien; mais comme la moindre erreur pourroit fe multiplier, fi l'on fe régloit fur ce degré unique, on peut voir dans la Table des Latitudes croiffantes que so degrez de l'Equateur font égaux à 45 degrez du Méridien de la Carte, ou à l'intervalle compris entre 45 deg. & 22 deg. 30 min. pris fur l'échelle des Logarithmes - Tangentes avant fa transformation, Nous faifons abftraction du défaut de rondeur de la Terre, lorfque nous difons que 45 degrez fur le Méridien de la Carte réduite font égaux à 50 deg. de longitude: car dans la rigueur ils ne doivent être égaux qu'à 50 deg. 3 min, comme on le verra dans le Chapitre fuivant.

III.

Réfolution des Problêmes de Navigation par la Table des Latitudes croiffantes.

247. S'il s'agit de réfoudre un premier Problême, on cherchera la différence en latitude comme dans le Cha

pitre fecond, par les Sinus ou par les Logarithmes. A l'égard des autres Problêmes, on fera toujours en forte d'avoir le rumb de vent & les latitudes du départ & de l'arrivée ; & on aura enfuite recours aux latitudes croiffantes pour trouver la différence en longitude. On verra dans la Table les parties croiffantes qui répondent aux deux latitudes; on fouftraira les unes des autres, fi les deux latitudes font de même dénomination; mais on les ajoutera enfemble, fi le point du départ & le point d'arrivée font de différens côtés de l'Equateur, On aura de cette forte la différence en longitude exprimée en minutes pour la route du NE, qui conduiroit d'une latitude à l'autre. Suppofé qu'on n'eût pas de Table des latitudes croiffantes, on chercheroit cette même différence en longitude par la méthode du N°. 235. Enfin il ne reftera plus que cette proportion à faire: Le Sinus total ou la Tangente de 45o. eft aux parties croiffantes de différence en latitude, ou à la différence en longitude pour le N E, comme la Tangente du rumb de vent fur lequel on a réellement couru, eft à la différence en longitude requise,

Exemple du premier Problême.

248. On eft parti des environs de la Martinique, par 14 deg. 40 min. de latitude N, & 318 deg. de long, & on a couru 1000 lieues au NE÷E. On demande la latitude & longitude d'arrivée. Je trouve d'abord la différence en latitude par les méthodes ordinaires. Il me vient 555.6 lieues Nord, qui valent 27 deg. 47 min. Ainsi la latitude d'arrivée est de 42 deg. 27 min. Nord. Je cherche enfuite dans la Table des latitudes croiffantes les parties qui répondent à la latitude du départ, & à celle de l'arrivée. Je trouve 890 & 2818 dont la différence eft de 1928 ;& ce nombre marqueroit donc la différence en longitude, fi on avoit couru au NE. La différence en Longitude actuelle fera plus grande, parce qu'on a couru