RÈGLE XV.

Il est utile aussi, la plupart du temps, de tracer ces figures et de les présenter aux sens externes, pour tenir plus facilement par ce moyen notre esprit attentif.

La manière dont il faut tracer ces lignes, pour qu'au moment où elles sont offertes à nos yeux leur figure se réfléchisse plus distinctement dans notre imagination, s'explique d'ellemême. Ainsi, en premier lieu, nous représenterons l'unité de trois manières : par un carré, si nous la considérons en tant que longue et large; par une ligne si nous ne la considérons qu'en tant que longue; et enfin, par un point si nous ne la considérons qu'en tant que servant à composer હૈ la pluralité. Mais, de quelque manière qu'on la représente et qu'on la conçoive, nous comprendrons toujours qu'elle est un sujet qui a de l'étendue en tout sens, et qui est susceptible d'une infinité de dimensions. Ainsi encore, pour représenter aux yeux les termes d'une proposition dans lesquels nous aurons à examiner à la fois deux grandeurs différentes, nous tracerons un rectangle dont les deux côtés seront les grandeurs proposées, de cette manière

si elles sont incommensurables

nité, de cette autre

avec l'u

ou de celle

sont commensu

rables, sans rien ajouter, à moins qu'il ne s'agisse d'une pluralité d'unités. Si enfin nous n'examinons qu'une seule grandeur, nous représenterons la ligne par un rectangle dont un côté sera la grandeur proposée, et l'autre l'unité de cette manière, ce

qui se fait toutes les fois que la même ligne doit

être comparée avec une surface quelconque, ou seulement par une longueur de cette manière

si on la con

sidère comme une longueur incommensurable, ou de cette manière ., si elle est une pluralité.

:

Le texte latin porte commensurabiles, lisez incommensurabiles. L'erreur est évidente; la seule comparaison des signes suffit pour la faire toucher du doigt.

RÈGLE XVI.

Quant aux dimensions qui n'exigent pas l'attention immédiate de l'esprit, bien qu'elles soient nécessaires pour la conclusion, il vaut mieux les désigner par des figures très-courtes que par des figures entières; de la sorte, en effet, la mémoire ne pourra faillir; et la pensée ne sera pas forcée de se partager pour retenir ces dimensions, tandis qu'elle s'appliquera à la recherche des autres.

Au reste, comme nous avons dit que, parmi les innombrables dimensions qui peuvent se peindre dans notre imagination, il ne faut en considérer plus de deux à la fois par un seul et même regard ou par une seule et même intuition, il est important de retenir toutes les autres, de telle sorte qu'elles se présentent facilement à notre esprit toutes les fois que nous en aurons besoin. C'est dans ce but que la mémoire nous semble avoir été créée par la nature. Mais comme cette faculté est sujette à faillir souvent, et pour n'être pas forcé d'employer quelque partie de notre attention à la renouveler pendant que nous sommes occupés à d'autres pensées, l'art a fort à propos inventé l'usage de l'écriture. A l'aide de cette invention nous ne confierons plus rien à la mémoire ; mais abandonnant notre imagination libre et entière aux idées présentes, nous tracerons sur le papier tout ce qu'il faudra retenir, et cela au moyen de figures très-courtes, afin qu'après avoir examiné chaque chose séparément, selon la règle neuvième, nous puissions, selon la règle onzième, les parcourir toutes par un mouvement rapide de la pensée, et en embrasser à la fois le plus grand nombre possible.

Ainsi donc, tout ce qu'il faudra regarder comme l'unité pour la solution de la question, nous le désignerons par un signe unique que l'on peut représenter ad libitum; mais pour plus de facilité nous nous servirons de lettres minuscules a, b, c, etc., pour exprimer les grandeurs déjà connues, et de majuscules A, B, C pour les grandeurs inconnues; et souvent nous placerons les chiffres 1,2,3,4, etc., soit en tête de ces signes pour indiquer le nombre des grandeurs, soit à la suite pour exprimer le nombre des relations qu'elles contiennent. Ainsi, par exemple, si j'écris 2 a3, ce sera comme si je disais :

Le double de la grandeur représenté par a, laquelle contient trois rapports. Par ce moyen, non-seulement nous épargnerons les mots, mais, ce qui est le plus important, nous présenterons les termes de la difficulté tellement simples et réduits à eux-mêmes que, sans rien omettre d'utile, nous ne laisserons en eux rien de superflu, rien qui occupe inutilement l'esprit quand il lui faudra embrasser plusieurs objets à la fois.

Pour mieux comprendre tout cela, il faut remarquer d'abord que les calculateurs ont coutume de désigner chaque grandeur par plusieurs unités ou par un nombre quelconque, mais que pour nous, dans la question qui nous occupe, nous ne faisons pas moins abstraction des nombres que tout à l'heure des figures géométriques ou de toute autre chose; ce que nous faisons non-seulement pour éviter l'ennui d'un calcul long et superflu, mais encore et surtout pour que celles des parties du sujet qui constituent la nature de la difficulté demeurent toujours distinctes et ne soient pas enveloppées dans des nombres inutiles. Ainsi, par exemple, si l'on cherche la base d'un triangle rectangle dont les côtés donnés sont 9 et 12, un calculateur dira qu'elle est ✓ 225 ou 15; mais nous au lieu de 9 et 12, nous poserons a et b, et nous trouverons que la base est ✓ a2+b2; et ces deux parties a et b qui sont confuses dans le nombre resteront distinctes dans notre formule.

Il faut remarquer encore que par nombre des relations il faut entendre les proportions qui se suivent en ordre continu, proportions que dans l'algèbre vulgaire on cherche à exprimer par plusieurs dimensions et par plusieurs figures, et dont on nomme la première racine, la seconde carré, la troisième cube, la quatrième double carré; termes qui, je l'avoue, m'ont trompé moi-même bien longtemps; car il me semblait qu'on ne pouvait présenter à mon imagination rien de plus clair, après la ligne et le carré, que le cube et autres figures semblables; et avec leur secours je ne résolvais pas peu de difficultés; mais après beaucoup d'expériences je me suis enfin aperçu que cette manière de concevoir ne m'avait rien

fait découvrir que je n'eusse pu connaître bien plus facilement et bien plus distinctement sans elle, et qu'on doit rejeter entièrement de telles dénominations, de peur qu'elles ne troublent la conception, parce que la même grandeur, qu'on appelle cube ou double carré, ne doit cependant jamais, selon la règle précédente, être présentée à l'imagination autrement que comme une ligne ou comme une surface. Il faut donc encore noter surtout que la racine, le carré, le cube, etc., etc., ne sont rien autre chose que des grandeurs en proportion continue que l'on suppose toujours précédées de cette unité d'emprunt dont nous avons déjà parlé plus haut. La première proportionnelle se rapporte immédiatement par une seule relation à cette unité; la seconde par l'intermédiaire de la première, et conséquemment par deux relations; la troisième par l'intermédiaire de la première et de la seconde, et par trois relations, etc. Nous appellerons donc désormais première proportionnelle cette grandeur qu'on appelle racine en algèbre; seconde proportionnelle, celle qu'on nomme carré, et ainsi des autres.

Remarquons enfin que, bien que nous abstrayions ici du nombre les termes de la difficulté pour en examiner la nature, cependant il arrive souvent qu'elle aurait pu être résolue plus simplement dans le nombre donné que dégagée de ce même nombre; ce qui se fait par le double usage des nombres, ainsi que nous l'avons vu plus haut, parce que les mêmes expliquent tantôt l'ordre, tantôt la mesure. Conséquemment, après avoir cherché à résoudre la difficulté, abstraction faite des nombres, il faut la rapporter à ces nombres pour voir si par hasard ils ne nous fourniraient pas une solution plus simple. Ainsi, par exemple, après avoir vu que la base d'un triangle rectangle dont les côtés sont a et b, est va2+b2, et qu'il faut pour a2 poser 81 et pour b2 144, nombres qui, additionnés, font 225, dont la racine, c'est-à-dire la moyenne proportionnelle entre l'unité et 225, est 15, nous connaîtrons par là que la base 15 est commensurable avec les côtés 9 et 12, mais non généralement parce qu'elle est la base d'un triangle rectangle dont un côté est à l'autre comme 3 est

Le double de la grandeur représenté par a, laquelle contient trois rapports. Par ce moyen, non-seulement nous épargnerons les mots, mais, ce qui est le plus important, nous présenterons les termes de la difficulté tellement simples et réduits à eux-mêmes que, sans rien omettre d'utile, nous ne laisserons en eux rien de superflu, rien qui occupe inutilement l'esprit quand il lui faudra embrasser plusieurs objets à la fois.

Pour mieux comprendre tout cela, il faut remarquer d'abord que les calculateurs ont coutume de désigner chaque grandeur par plusieurs unités ou par un nombre quelconque, mais que pour nous, dans la question qui nous occupe, nous ne faisons pas moins abstraction des nombres que tout à l'heure des figures géométriques ou de toute autre chose; ce que nous faisons non-seulement pour éviter l'ennui d'un calcul long et superflu, mais encore et surtout pour que celles des parties du sujet qui constituent la nature de la difficulté demeurent toujours distinctes et ne soient pas enveloppées dans des nombres inutiles. Ainsi, par exemple, si l'on cherche la base d'un triangle rectangle dont les côtés donnés sont 9 et 12, un calculateur dira qu'elle est ✓ 225 ou 15; mais nous, au lieu de 9 et 12, nous poserons a et b, et nous trouverons que la base est va2+b2; et ces deux parties a et b qui sont confuses dans le nombre resteront distinctes dans notre formule.

Il faut remarquer encore que par nombre des relations il faut entendre les proportions qui se suivent en ordre continu, proportions que dans l'algèbre vulgaire on cherche à exprimer par plusieurs dimensions et par plusieurs figures, et dont on nomme la première racine, la seconde carré, la troisième cube, la quatrième double carré; termes qui, je l'avoue, m'ont trompé moi-même bien longtemps; car il me semblait qu'on ne pouvait présenter à mon imagination rien de plus clair, après la ligne et le carré, que le cube et autres figures semblables; et avec leur secours je ne résolvais pas peu de difficultés; mais après beaucoup d'expériences je me suis enfin aperçu que cette manière de concevoir ne m'avait rien