ANALYSE D'UNE MÉTHODE GÉNÉRALE DE RÉSOUDRE LE PROBLÈME DES TROIS CORPS, Leur maffe étant fuppofée réunie en un point fans étendue. LE PROBLEME des Trois Corps, fur lequel je vais donner ici quelques vues, eft un des plus célebres que le's Géometres fe foient propofés dans ce fiecle. Newton fit mouvoir dans les ellipfes de Képler, les planetes lancées dans le vuide & animées d'une force de gravitation. Il calcula dans des paraboles, les orbites clliptiques & prefque infiniment allongées des cometes. La Lune', le Satellite de notre globe, attirée en mêmetéms par le Soleil & par la Terre, fe mouvoit dans une courbe irréguliere qui avoit échappé à toutes les hypotheses & à toutes les tables dreffées d'après les obser→ vations. Les cometes étoient troublées dans leur cours A par l'approche de quelques-unes de nos planetes. C'eft à ces questions que s'arrêta Newton; c'eft d'après le résultat du calcul, comparé à ce que donnent les obfervations, que les Difciples de ce grand homme doivent, ou mettre la derniere main à fon fyftême, ou en renverser l'édifice hardi. Trois corps mus dans l'efpace d'un mouvement uniforme, s'attirent réciproquement en raifon directe de leurs maffes, & inverfe du quarré de leurs distances. Quel en eft le mouvement? Voilà le problême général qu'il faut réfoudre. La maffe du Soleil eft énorme par rapport à celles de la Terre & de la Lune: cet aftre eft à peine ébranlé par leur attraction fur lui; & on peut, dans ce cas particulier, n'y avoir aucun égard. La question se réduit donc déja à trouver le mouvement de deux corps qui s'attirent mutuellement, & font en même tems attirés vers un point fixe, On fait de plus quelle eft la courbe du mouvement fenfible de la Terre; & cette connoiffance réduit le problême, dans ce cas particulier, à trouver le mou vement d'un corps attiré vers un point fixe, & encore par un autre corps dont le mouvement eft donné. .. Ces problêmes ont néceffairement deux parties. Leur nature ne nous permettant point d'en avoir les équa tions, fans qu'il y entre des différentielles; il faut après avoir trouvé ces équations, en chercher l'intégrale, ou du moins les mettre fous une forme à laquelle les mé thodes connues s'appliquent facilement. Je donnerai pour l'une & l'autre parties, des méthodes également utiles pour un nombre de corps quelconque, & qui, à mesure que le nombre des corps augmenteroit, exigeroient feulement de plus longs calculs, mais ne renfermeroient de nouvelles difficultés. pas PREMIERE PARTIE DU PROBLÊME. que TROUVER les équations différentielles du mouvement de chacun des corps d'un fyftême quelconque, en fuppofant que chacun de ces corps foit animé de certaines forces, & qu'il y ait entr'eux une attraction mutuelle. SOLUTION. Soient ces corps M, M', M". . M, M', M". . . en défignent auffi les maffes, & que, d'un point fixe dans l'efpace, trois coordonnées rectangles déterminent la courbe du mouvement de chacun de ces corps. Soient ces coordonnées x, y, z, pour le corps M; x', y', ', pour le corps M'; x", y", {"′′, pour Ie corps M". P, Q, R, les forces du corps M dans les directions de x, y, z; P', Q, R', celles de M'; P", Q", R", celles de M". . . Soient les distances entre le corps M & les corps M', M". . . tances entre M' & M"... 2 ƒ, f'. . . les diff... enforte que f= x x2 + y − y2+ { x2 + y = y′′2 + { — {2. F, F... les forces d'attraction entre M & M', enfin u, u', u'... les vîteffes des corps M, M', M". ds=√dx2+dy2+dz2, ds' =√ dx'2+dy2+d{'2, ds"=√dx"2+dy"2+dz"2. . . les efpaces parcourus par ces mêmes corps, & de l'élément du tems, que je fuppofe conftant. Je fuppofe qu'au lieu de parcourir les efpaces ds, ds', ds"... les corps parcourent les efpaces ds, ds', ds"... à caufe d'un changement quelconque dans les forces (les différentielles affectéesde la caractéristique d étant absolument indépendantes de celles qui font affectées de la caractéristique ordinaire); la fomme des forces néceffaires pour opérer ce changement dans le systême, sera SM. Pax dx + Qdy dy + Rdz dz + M'. P' dx' — dx' + Q'dy' — dy' + R' dz' — dź M". Pdx-dx" + Q"dy"—dy" + R"dz"— dz". +MM'Fdf—dƒ• + MM"F'dƒ' — df". + + M'M"F‚dƒ,—dƒ,. . . & par conféquent la somme de toutes les forces du fyftême fera dans l'hypothese SM.Pdx+Qdy+Rdz+M'.P'dx'+Qdy'+R'd? +MM'Fdƒ+ +M".P"d x" + Q′′dy"+ R′′dz". MM"F'dƒ'. + M'M"Fdf... le figne d'intégration fe rapportant à la caractéristique d. Multipliant par dt, élément du tems, j'aurai la quantité d'action qui, dans l'hypothefe, s'exercera dans le fyftême. Mais, dans les mêmes fuppofitions, cette quantité d'action est auffi f Mudds + Mudds' + M"u"dds". . . & ces deux expreffions doivent être identiques entre elles. Donc f Mudds + Mudds' + M"u"dds" M.Pdx+Qdy+Rdz. dt-M'.P'dx'+ Q'dy'+R'dz'.di - M". P"dx"+Q"dy"+R"dz".dt.. MM"F'df'.dt M'M"Fdf. dt Je mets dans cette équation, pour dds, fa valeur. dx. ddx+dy. dày + dy dd; pour dds', sa valeur ds dx'. d d x' + dy'.ddy'+dz'.ddz ds' ds" y+de.dag, pour dds”, sa valeur dx". d d x"+d'y".ddy"+da".dd". J'intègre par partie, enforte qu'il me refte fous le figne une fonction qui ne soit plus fufceptible de réduction; & j'ai, 1o. un terme hors du figne, qui fera nul de lui-même, ou le deviendra en vertu de fuppofitions convenables, felon que la trajectoire fera affujettie à paffer par certains points, ou à d'autres fuppofitions; 2°. une fonction fous le figne, qui fera auffi égale à zero: ce qui me donnera f + M d. "dy + MQ dt + FMM — dɛ + ds F'M M"—" dt... dy. udz + Md. + MR dt + FMM' '—{′ dt + ds F' M M"2 — X" dt . . . dz. f |