u + M" d. ""d"′ + M"R"dı FMM" —” di — ds" F,M' M" "="" dt Mais cette équation doit avoir lieu, quels que foient les dx, dy, dz, &c. Donc, égalant à zero chacun de leurs coefficiens, j'aurai perpétuellement entre les coor données & les viteffes, les équations fuivantes, qui feront pour chaque corps au nombre de trois. udx ty, Md. "d + MP dt + FMM de + d's u dz 3°. Md " + MR di + FMM 3~2 dt + ds d=0. ds' + MPdt -- FMM *—* dt + u'd li 4°. M' d. F,MM" Lu'dy 5o. Md. "' + MQ dt — FMM "—" de + + M"P"dt - FMM"-di 8°. M'd. """ + M"Q"de - FMM" dt 1\ 9° M'd, ""13" + M"R"dt — FMM"—" de → u"dz" F,MM" de.. =o. Equations qui fuffiront f'. dans tous les cas, pour avoir le mouvement de chacun des corps. C. Q. F. T. REMARQUE I. S'IL y avoit entre les coordonnées une ou plufieurs équations données, indépendantes de celles du problême, on substituera dans le terme qui refte fous le figne, la valeur d'une ou de plufieurs des différentielles affectées du figne d, tirée de ces équations; on égalera à zero le coefficient de chacune de celles qui restent : & ces équations, jointes aux équations données, ferviront à réfoudre le problême. REMARQUE II. PUISQUE le coefficient de chacune des différentielles affectées de la caractéristique d eft nul, il eft clair qu'en mettant dans la fonction fous le figne, dx à la place de dx, & ainfi de fuite, on aura une fonction qui fera auffi égale à zero. Développant enfuite tous ces termes, puis réduifant, & fubftituant pour fa-valeur du, on aura Mudu+M'udu+Mudu". dds • di 6: +M'. P'dx'+Q'dy'+R'dz'+M".P" dx"+Q"dy"+R"dz" +MMFdf+MM"F'df".. ··· +M'M"Fdf équation qui est la même que celle que donne le principe des forces vives, & qui renferme ce principe. REMARQUE III. A.. 1 ་་. TOUTES les fois que le mouvement eft poffible, la fonction fonction égalée ci- deffus à zero peut être regardée. comme intégrable; mais dans ce cas j'ai Mudu + M'u'd u'+M'u'd u"..+M. Pdx+Qdy+Rdz + M'. P'dx'+Q'dy'+R'dz'+M".P"dx′′+Q"dy"+R′′dz′′•• + MMFdf+M M'F'dƒ' · · + M'M"F‚dƒ‚· · Donc, comparant cette équation avec celle du problême, j'aurai Mudds+Mududt+M'u'dds' + M'u'dudt +M"u"dds" + M"u"du"dt...o. Donc, mettant ds 'ds' ds" pour u, u', u' leurs valeurs dt di di j'aurai f Mudds + Mds du + M'u' dds' + M'ds' du' + M"u"dds"+M"ds"du". •=o; & réduifant, (d. Muds +M'uds' +M"u"ds"..o, ou d. f Muds+Muds' + M"u"ds" = o. Donc f Muds + Muds' + M'u'ds".. est un minimum. Donc le principe de la moindre action a lieu toutes les fois que le mouvement eft poffible, mais ne peut être employé pour trouver les équations du problême, que lorfque la formule ci-deffus eft immédiatement intégrable. Cela a été auffi remarqué par M. de la Grange. SECONDE PARTIE DU PROBLEME. POUR avoir les équations du premier cas du problême, il est aisé de voir qu'il n'y a qu'à faire, dans les neuf équations ci-dessus, P, Q, R; P', Q', R'; P", Q", R", égaux à zero, & F & F= ;. ‚ F' = —,, F, f enfuite dans ces équations, u= • Je fais ds ds' ds" 2o. ddy + M12—7′ de2 + M"'—f" de2 = 8, 3°. ddz + M2— de2 + M"2="′′ de2 = 0, f's x' 4°. ddx' — M *7* dt2 + M" *—*" dr2 = 0, 5°. ddy' — M2— de2 + M"—" dr2 = 0, f3 6o.' ddź — M 2—2 dr2 + M" (—X" de2 = 0, 7°. ddx" — M *7*" dt2 M' 8°. ddy" — M 27" de2 f' f} 9°. ddz" — M2 de M' f's f} Pour avoir maintenant les équations des courbes que décrivent les corps, j'élimine de', & j'ai les huit équa |