Et l'on pourroit, au lieu des équations 7. & 8°. en avoir d'autres femblables en ddy & ddy', ddy & ddy", ou ddz & ddź, ddz & ddź". Cela pofé, il est aifé de voir qu'y ayant neuf variables & huit équations, on pourra éliminer par les méthodes connues, enforte qu'il ne reste plus que des équations entre deux variables, telles qu'elles doivent être pour déterminer le mouvement de chaque corps, & leur position respective à chaque inftant. Mais, quoique la méthode que j'ai donnée dans mon précédent Ouvrage foit générale, elle demande de fi longs calculs, même pour le premier ordre, qu'il n'en faut espérer immédiatement aucun fecours pour des équations de l'efpece de celles-ci, qui monteront naturellement au vingtieme ordre. Il me faut donc chercher ici d'autres fecours; & c'eft dans la nature du problême que j'efpere les trouver.

Je remarque donc, 1°. que le mouvement du corps M doit être donné par une équation en x & en y, & par une équation en x & en z, ou bien en y & en zi le

mouvement du corps M' par une équation en x' & y', & par une équation en x' & ', ou bien en y & '; le mouvement enfin du corps M" par une équation en x" & y", & une équation en x" & ", ou bien y" & "; & que la pofition respective de ces corps dans l'espace pour chaque instant sera donnée par une équation en x & x', & une équation en x & x", ou, fi l'on veut, par deux équations, foit en y &y', & eny &y", foit en z & 7, & en z & z′′. 2o. Que, puisque les forces qui agiffent fur les corps font femblablement compofées des coordonnées x, y, z; x', y', 7' ; x", y", 7"; & que la maffe des corps, leur vîteffe primitive, leur premiere pofition dans l'espace, Loutes quantités conftantes, font les feules chofes qui faffent que le mouvement d'un de ces corps ne foit pas celui d'un autre; il eft aifé de voir il eft aifé de voir que, 1°. les équations en x & y, x & z; x' & y', x' & z′; x" & y" x" & z′′, feront femblables, & ne différeront que par les coefficiens conftans; c'est-à-dire qu'on aura dans l'équation en x' & y', ou én x" & y", des fonctions de x' & y', ou de x" &y", femblables à celles de x & y qui entrent dans l'équation en x & y, & qu'il en fera de même des équations en x &, x' & z', x" & z′′. 2°. Que les équations qu'on auroit en y & y', y & y", z & ¿', z & z′′, seront également femblables aux équations qu'on aura entre x & x'; x & x′′. 3°. Que les équations en x & y, x & z, feront telles que les fonctions de y qui entreront dans la premiere, feront femblables à celles de z qui entreront dans la feconde, & qu'il en fera de même des équations en x' & y', x' &z', ou x" & y", x" & ". 4°. Enfin, que

dans ces équations, les fonctions égalées à zero feront femblablement compofées des variables x & y pour l'équation en x & y, des variables x &z pour l'équation en x &, & ainfi pour toutes les autres équations. D'où il fuit, & de ce qu'on doit tirer des équations en x & y, x & 7, une équation en y & z femblablement compofée de ces deux variables, & d'une maniere femblable à celle dont l'équation en x & y eft composée de x &y; il fuit, dis-je, qu'on doit avoir une fonction de x égale à une fonction femblable de y, & ainsi pour les autres équations. Tout ceci s'accorde parfairement avec la forme des équations que j'ai trouvées dans la premiere Partie du Problême; car, fi l'on joint aux huit ci-deffus, les autres équations qu'on en peut déduire, on verra que les neuf variables y entrent d'une maniere femblable.

Je remarque, en troifieme lieu, que fi je joins aux huit équations dont je viens de parler, une équation entre le tems & une quelconque des coordonnées, j'aurai toutes les équations néceffaires pour réfoudre le problême; que j'aurai par conféquent une équation entre t & chacune des coordonnées; que ces équations feront femblables, & que ces neuf équations entre t & chacune des coordonnées fuffiront auffi pour réfoudre le problême.

Je remarque enfin, que fi au commencement du mouvement je suppose à chacune des coordonnées une valeur donnée, j'aurai la position primitive de chacun des corps dans l'efpace; que leur direction primitive fera donnée M les valeurs de dans cet inftant, par

pour

dx

&

dx

dz

;
dy"! dz" que

donnée par les valeurs de

leur vîteffe primitive sera

ds
ds' ds"
dt' de' de'

D'où il fuit,

qu'en général il doit refter dix-huit conftantes arbitraires dans les équations finies du problême. Donc, puisque ces équations font au nombre de neuf entre t & chacune des coordonnées, & qu'elles font toutes se nblables entre elles, chacune de ces équations en contiendra deux femblablement placées dans chaque équation. Il fuit de-là, que chacune des huit équations en deux des coordonnées en paroîtra contenir quatre, qui fe réduiront à trois cn changeant l'équation de forme; que la laiffant fous la forme où elle en contiendroit quatre, la même coordonnée se trouvant dans deux équations, leurs huit arbitraires fe réduifent à fix par la nature du problême; & que fix de ces équations fuffifant pour que toutes les fonctions femblables de chaque variable foient déterminées, toutes les arbitraires fe réduiront à dix-huit, comme on fait déja que cela doit être. Les coefficiens conftans déterminés feront auffi, dans chaque équation, compofés de fonctions femblables des M, M', M"; & ces nombres conftans feront les mêmes dans chaque équation.

De tout ce que je viens de dire, il n'eft pas difficile de conclure que, de quelque maniere que je combine mes neuf équations entre t & chacune des coordonnées, fans pourtant chaffer t, je ne pourrai, à chaque différenciation, éliminer dans les équations non féparées,

plus d'arbitraires ou de fonctions tranfcendantes, que je n'en pourrois éliminer dans les équations féparées ; mais que par la combinaison des deux équations qui ont lieu entre trois coordonnées, je puis par deux différen. ciations éliminer quatre fonctions tranfcendantes qui fe réduisent à trois, & quatre arbitraires qui fe réduisent auffi à trois. Donc, puifque les équations non féparées du problême font du fecond ordre, je ne puis avoir entre t & chacune des coordonnées, que des équations féparées qui contiennent deux fonctions tranfcendantes & deux variables; d'où il naîtra une équation algébrique du fecond ordre entre t & chaque coordonnée, & entre deux coordonnées quelconques où il n'y aura point d'arbitraire. Donc il y aura d'ailleurs entre les différentes coordonnées, des équations du troifieme ordre auffi algébriques & fans arbitraires; & ce font les équations féparées qui répondront aux équations non féparées du problême.

Maintenant je fuppofe que j'élimine non feulement t, mais auffi toutes les coordonnées, enforte qu'il ne me refte plus qu'une équation entre deux coordonnées, x & y par exemple; fi j'ai éliminé enforte que, quoique j'aie différencié, je n'aie pas introduit de nouvelles arbitraires, j'aurai une équation qui aura pour folution incomplette une équation algébrique féparée, du fecond ordre, & une du troisieme : & il eft clair que cette opération est toujours poffible dans ce cas.

Cette opération une fois exécutée, j'aurai une équation féparée qui ne doit avoir pour foution qu'une équation