Du probleme des trois corps. Par m. le marquis de Condorcet

& cette expreffion devra être nulle, quelles que foient les différentielles affectées de la caractéristique d: je pourrois donc égaler à zero le coefficient de chacune de ces différences, ce qui me donneroit neuf équations. Mais il cft aifé de voir que pour réfoudre le Problême plus commodément, il est à propos d'avoir le mouvement d'un point déterminé auquel on rapporte enfuite le mouvement de tous les autres. Nous ferons donc pour y parvenir les opérations fuivantes.

Je prends d'abord dans chaque corps un point déterminé dont je fuppofe que le mouvement soit rapporté à des coordonnées x, y, z; x', y', z′; x", Y", z′′; & que le mouvement d'un point quelconque de chacun de ces corps foit rapporté à des coordonnées P, Q, R ; P', Q', R'; P", Q", R"; le point déterminé pris dans chaque corps étant fuppofé fixe, & ces coordonnées prifes dans la même direction que celles qui expriment le mouvement du point déterminé.

Cette fuppofition me donne dx = dx+dP, dy =dy+dQ, dz=dz + dR, & dxdx +dP; dy=dy+dQ, dz=dz+dR, dx'=dx'+dP', dy=dx+dQ,dq=dz+dR,& dx'=dx'+d P', dy'=dy'+dQ', dz'dz'+d R′; enfin dx"=dx" '+dP", dy" dr′′+dQ", dz′′ = dz"+dR", & dx" =dx"+dP", dy"=dy".+ d Q′′, dz′′=dz"+d R′′. Je fuppofe enfuite que par le point déterminé que j'ai pris dans chaque corps paffent trois axes perpendiculaires entr'eux & qui aient la même direction que les coordonnées, qu'un point quelconque tourne autour de ces trois

axes, & que dans le corps Cil parcourre autour de l'axe parallele aux x l'arc dx pendant le tems dt,autour de l'axe parallele aux y l'arc dr, & autour de l'axe parallele aux z l'arc dz; dans le corps C' l'arc dx' autour de l'axe des x', l'arc d'autour de l'axe des y', l'arc dz'autour de l'axe des z'; dans le corps C" enfin l'arc dx" autour de l'axe des x", l'arc dr" autour de l'axe des y", l'arc dz" autour de l'axe des z". Les angles font indépendans de la pofition d'un point quelconque dans le corps, & leur rapport donnera par conféquent le mouvement giratoire de chacun des corps autour de ces axes. Cette nouvelle fuppofition me donne, en exprimant les différences de P, Q, R,&c. par leurs valeurs en X, Y, Z, &c. dx=dx+Rdr+Qdz, dx=dx+Rdr+Qdz, dy=dy + Rdx-Pdz, dy=dy+Rdx— Pdz, dz=dz - Q dx-Pdy, dz=dz-Qdx-Pdz, dx'=dx'+R'dr'+Q'dz', dx'=dx'+R'dr'+Q'dz',

dy' = dy'+R'd x'- P'dź, 'dz' = dz' — Q'd x'- P'dy, dx"=dx"+R"dy"+Q"dz", dy"—dy"+R"dx"-P"dz", dz"— dz" —Q′′dx"—-P"dr",

dy'=d y'+R'd x'— P'd z', dz'=dz'- Q'd x'-P'dr', dx"=dx′′+R′′d ¥"+Q′′dz", dy"=dy"+R′′dx"—P"dz", dz"=dz"-Q′′d x"—P"dr".

Subftituant ces valeurs dans l'équation ci-deffus, & réduisant en obfervant que le figne Σ n'affecte en aucune façon les x, x, &c., & égalant à zero le coefficient de chaque différence affectée de la caractéristique d, j'aurai les dix-huit équations fuivantes, où M, M', M", désignent les maffes des corps C, C, C".

Dij

1o. Mddx+ Pdm-dr2+dz2+ΣQdm• ddz―dxdr

+≥Rdm • ddy+dxdz +Σdmɛ