La méthode de Laplace. Les systèmes en involution. La méthode de M. Darboux. Les équations de la première classe. Transformations des équeations du second ordre. Généralisations diversesA. Hermann, 1898 |
Expressions et termes fréquents
admet une intégrale B₁ C₁ carac caractéristiques d'ordre Cauchy coefficients combinaisons intégrables constantes arbitraires courbe d'ordre inférieur Darboux déduit dérivées d'ordre dérivées partielles différentielles des caractéristiques dx dy dxdy équa équation aux dérivées équation d'ordre équation du premier équation du second équation linéaire équations différentielles F₁ familles de caractéristiques fonction arbitraire fonction inconnue forme forment un système formules grale identiquement infinité d'intégrales infinité de constantes inté intégrale commune intégrale de l'équation intégrale du système intégrale intermédiaire INTEGRATION DES ÉQUATIONS invariants distincts l'élimination l'équa l'équation proposée l'intégrale générale l'intégration m₁ Maurice Lévy méthode de Laplace nombre fini nouvelle équation P₁ paramètres Po,n premier ordre quelconque ramener résolues par rapport Sophus Lie suite de Laplace Supposons surface intégrale système en involution systèmes de caractéristiques tion transformation de Laplace variables indépendantes vérifiées ди др ду
Fréquemment cités
Page 117 - On a vu, dans les deux paragraphes précédents, que le problème des équations d'ordre supérieur se sépare très nettement du problème relatif aux équations du premier ordre. Pour le premier ordre, en effet, la méthode du changement de variables ramène la question à l'intégration d'un système complet d'équations aux dérivées ordinaires. Pour le second ordre et pour les ordres supérieurs, il ya au contraire moins d'équations que d'inconnues à déterminer. Les remarques qui suivent...
Page 118 - ... est encore inférieur d'une unité au nombre des fonctions inconnues. Ces équations ne suffisent donc pas à déterminer les inconnues considérées comme fonctions de la seule variable x; mais la différence entre le nombre des équations et celui des inconnues reste la même qu'auparavant : elle est égale à l'unité. Il en est de même si, au lieu de s'arrêter au troisième ordre, on continue les calculs jusqu'à un ordre quelconque : il ya toujours une équation de moins qu'il n'ya d'inconnues....
Page 30 - ... surface de quatrième classe, normale à toutes les positions d'une droite invariable dont trois points décrivent trois plans rectangulaires. — Cas où les coordonnées tangentielles sont exprimées en fonction de deux paramètres. — Première solution du problème ayant pour objet la détermination des surfaces admettant une représentation sphérique donnée pour leurs lignes de courbure. — Développements sur un système particulier de coordonnées tangentielles employé par MO Bonnet...
Page 119 - ... i en fonction des dérivées d'ordre inférieur, on n'aurait qu'à dériver toutes les équations qui donneraient chacune de ces dérivées pour avoir les dérivées d'ordre supérieur; et la solution commune, si elle existait, ne pourrait contenir tout au plus qu'un nombre limité de constantes arbitraires. Il faut donc que ces n...
Page 119 - Celte dernière relation peut être évidemment considérée comme une nouvelle équation aux dérivées partielles, compatible avec la proposée, et qui admet en commun avec elle une intégrale avec une fonction arbitraire. Nous sommes donc conduits à la solution de la question suivante, qui répond à ce deuxième mode d'exposition : Trouver une équation aux dérivées partielles...
Page 209 - Polytechnique ('), a adopté la règle suivante : « Pour qu'une intégrale soit générale, il faut qu'il n'en résulte, entre les variables que l'on considère et leurs dérivées à l'infini, que les relations exprimées par l'équation donnée et par les équations qu'on en déduit en la différentiant (2).
Page 121 - Ainsi, dans le cas où l'équation caractéristique est irréductible, il suffit, pour la solution complète du problème, que l'un des systèmes à intégrer fournisse deux combinaisons intégrables correspondant à la même racine de l'équation irréductible. Si l'on n'a pas le nombre voulu de combinaisons intégrables, on n'aura évidemment que des solutions particulières. Les méthodes précédentes réussiront toujours, il est facile de le démontrer, toutes les fois que les intégrales seront...
Page 121 - V = a que nous cherchons se divisent eu deux classes, suivant qu'elles appartiennent à l'une ou à l'autre des racines de l'équation précédente. Pour la solution complète du problème, il suffit d'avoir une équation de chaque classe, contenant elle-même une fonction arbitraire. Un nombre quelconque d'équations différentielles appartenant à la même classe ne peut donner l'intégrale complète de notre équation. Il est, du reste, évident que si l'équation...
Page 120 - C'est en essayant d'établir un lien entre ces deux méthodes que j'ai été amené à l'élude dont les résultats principaux ont été rapidement indiqués ici. La seconde méthode permet de se rendre compte simplement du nombre des intégrations qui sont nécessaires pour la solution complète du problème; mais il est indispensable qu'avant de traiter ce point, nous entrions dans quelques explications. Soit une équation différentielle d'ordre n d"z d"z Désignons par Rn, R^^...
Page 218 - On peut aussi ramener à la forme (15) les intégrales où les fonctions arbitraires et leurs dérivées figureraient sous certains signes de quadrature, chacune de ces fonctions n'étant engagée sous un pareil signe qu'avec la variable dont elle dépend, ou d'autres fonctions de cette variable.